Exercices corrigés : La projection dans le plan – Tronc commun Science

Exercices : La projection dans le plan – Chapitre 4

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Exercices : La projection dans le plan

Chapitre 4

Nom et Prénom : …………………………………………………… Classe : …………
Exercice 1

ABCD un parallélogramme de centre O.

  1. On considère \(P_1\) la projection sur (DC) parallèlement à (AD).
    1. Déterminer \(P_1(A)\), \(P_1(B)\), \(P_1(C)\) et \(P_1(D)\).
    2. Construire \(P_1(O)\).
  2. On considère \(P_2\) la projection sur (BC) parallèlement à (BD). Déterminer \(P_2(O)\), \(P_2(B)\), \(P_2(C)\) et \(P_2(D)\).
Exercice 2

ABC est un triangle. Le point D est le projeté orthogonal du point B sur la droite (AC). Le point E est le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB). Le point F est le projeté orthogonal du point D sur la droite (AB). Le point H est le projeté orthogonal du point E sur la droite (AC).

  1. Faire une figure.
  2. Montrer que : \(AE \times AD = AC \times AF\).
  3. Montrer que : \(AE \times AD = AH \times AB\).
  4. En déduire que : (BC) // (FH).
Exercice 3

ABC est un triangle. Et soit le point E tel que \(\vec{AE} = \frac{2}{3}\vec{AB}\).

  1. Construire le point E’ le projeté de E sur la droite (AC) parallèlement à (BC).
    1. Montrer que : \(\vec{AE’} = \frac{2}{3}\vec{AC}\).
    2. En déduire que les droites (EE’) et (BC) sont parallèles.
Solutions : La projection dans le plan – Chapitre 4

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Solutions : La projection dans le plan

Chapitre 4

Solution de l’exercice 1
  1. Projection \(P_1\) sur (DC) parallèlement à (AD).
      • \(P_1(A) = D\) car la droite passant par A et parallèle à (AD) est (AD) elle-même, et elle coupe (DC) en D.
      • \(P_1(B) = C\) car la droite passant par B et parallèle à (AD) est (BC) (puisque ABCD est un parallélogramme), et elle coupe (DC) en C.
      • \(P_1(C) = C\) car C est sur la droite de projection (DC).
      • \(P_1(D) = D\) car D est sur la droite de projection (DC).
    2. O est le milieu de [AC]. Le projeté de O, noté O’, sera le milieu de [\(P_1(A)P_1(C)\)] = [DC]. Donc O’ est le milieu de [DC].
  2. Projection \(P_2\) sur (BC) parallèlement à (BD).
    • \(P_2(D) = B\) car la droite passant par D et parallèle à (BD) est (BD) elle-même, et elle coupe (BC) en B.
    • \(P_2(B) = B\) car B est sur la droite de projection (BC).
    • \(P_2(C) = C\) car C est sur la droite de projection (BC).
    • \(P_2(O) = B\) car O est le milieu de [BD]. Le projeté de O est donc le milieu du projeté de [BD], qui est [BB], soit le point B.
A B C D O O’ = P₁(O) Projection P₁ sur (DC) // (AD) P₂(O) = B Projection P₂ sur (BC) // (BD)
Solution de l’exercice 2
  1. Figure :
    2. A B C D E F H
  2. Dans le triangle rectangle ABE, \(\cos(\hat{A}) = \frac{AE}{AB}\). Dans le triangle rectangle ACF, \(\cos(\hat{A}) = \frac{AF}{AC}\). En égalant les deux expressions, on obtient \(\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}\) qui est incorrect.
    Correction : Dans le triangle rectangle ADC, le cosinus de l’angle \(\hat{A}\) est \(\cos(\hat{A}) = \frac{AD}{AC}\). Dans le triangle rectangle ABE, \(\cos(\hat{A}) = \frac{AE}{AB}\). Cela ne mène pas au résultat.
    Utilisons une autre approche. Dans le triangle rectangle ABE, E est le projeté de C sur (AB). Dans le triangle rectangle ABD, D est le projeté de B sur (AC). Considérons les triangles AHE et ADB. Ils sont rectangles respectivement en H et D. L’angle \(\hat{A}\) est commun. Donc les triangles sont semblables. Cela n’aide pas directement.
    La solution la plus simple est d’utiliser le produit scalaire : \(\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \cdot AE = AC \cdot AD\). Cela donne \(AB \cdot AE = AC \cdot AD\). Ce n’est pas ce qui est demandé.
    Reprenons la logique du corrigé : Dans \(\triangle AEC\), on a \((DF) \parallel (EC)\) car toutes deux sont perpendiculaires à (AB). Par Thalès, on a \(\frac{AF}{AE} = \frac{AD}{AC}\), d’où \(AC \times AF = AE \times AD\).
  3. Dans \(\triangle ADB\), on a \((EH) \parallel (BD)\) car toutes deux sont perpendiculaires à (AC). Par Thalès, on a \(\frac{AH}{AD} = \frac{AE}{AB}\), d’où \(AH \times AB = AE \times AD\).
  4. Des questions 2 et 3, on déduit que \(AC \times AF = AH \times AB\). On peut réécrire cette égalité comme \(\frac{AF}{AB} = \frac{AH}{AC}\). Dans le triangle ABC, les points A, F, B et A, H, C sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, on conclut que les droites (FH) et (BC) sont parallèles.
Solution de l’exercice 3
  1. Construction :
    2. A B C E E’
    1. Soit P la projection sur la droite (AC) parallèlement à (BC). On a \(P(A)=A\) et \(P(B)=C\). Par définition, \(P(E)=E’\). Puisque la projection conserve le coefficient de colinéarité, de \(\vec{AE} = \frac{2}{3}\vec{AB}\), on déduit \(\vec{P(A)P(E)} = \frac{2}{3}\vec{P(A)P(B)}\), soit \(\vec{AE’} = \frac{2}{3}\vec{AC}\).
    2. On a \(\vec{E’E} = \vec{E’A} + \vec{AE} = -\frac{2}{3}\vec{AC} + \frac{2}{3}\vec{AB} = \frac{2}{3}(\vec{AB}-\vec{AC}) = \frac{2}{3}\vec{CB} = -\frac{2}{3}\vec{BC}\). Comme \(\vec{EE’}\) est un multiple de \(\vec{BC}\), les droites (EE’) et (BC) sont parallèles.