1. Montrer les inégalités suivantes :
- a) $|x|+|y| \le |x+y|+|x-y|$, pour tous $x, y \in \mathbb{R}$.
- b) $\sqrt{x+y} \le \sqrt{x}+\sqrt{y}$, pour tous $x, y \in \mathbb{R}^+$.
- c) $|\sqrt{x}-\sqrt{y}| \le \sqrt{|x-y|}$, pour tous $x, y \in \mathbb{R}^+$.
2. Soit $[x]$ la partie entière de $x$. Montrer que pour tous $x, y \in \mathbb{R}$ :
- a) $x \le y \implies [x] \le [y]$.
- b) $[x]+[y] \le [x+y] \le [x]+[y]+1$.
1. a) On utilise l’inégalité triangulaire : $2|x|=|(x+y)+(x-y)| \le |x+y|+|x-y|$. De même pour $2|y|$. En additionnant, on obtient le résultat.
1. b) Pour $x, y \ge 0$, on a $2\sqrt{xy} \ge 0$, donc $x+y \le x+2\sqrt{xy}+y = (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2$. En passant à la racine, on obtient l’inégalité.
1. c) On écrit $\sqrt{x} = \sqrt{(x-y)+y} \le \sqrt{|x-y|+y} \le \sqrt{|x-y|} + \sqrt{y}$ (d’après b)). D’où $\sqrt{x}-\sqrt{y} \le \sqrt{|x-y|}$. On fait de même pour $\sqrt{y}-\sqrt{x}$ pour conclure.
2. a) Si $x \le y$, alors $[x] \le x \le y$. Comme $[x]$ est un entier inférieur à $y$, il est forcément inférieur ou égal au plus grand entier inférieur à $y$, qui est $[y]$.
2. b) On a $[x] \le x < [x]+1$ et $[y] \le y < [y]+1$. En sommant, $[x]+[y] \le x+y < [x]+[y]+2$. Par définition de la partie entière, on a $[x]+[y] \le [x+y]$. De plus, $x+y < [x]+[y]+2$ implique $[x+y] < [x]+[y]+2$, donc $[x+y] \le [x]+[y]+1$.
1. Montrer que :
- a) La somme d’un rationnel et d’un irrationnel est irrationnelle.
- b) $\sqrt{2}$ est irrationnel.
- c) $0,33643364…$ est rationnel.
2. Simplifier $x = \sqrt{a+2\sqrt{a-1}} + \sqrt{a-2\sqrt{a-1}}$ pour $a \ge 1$.
3. Calculer $A = \sum_{k=0}^n C_n^k$ et $B = \prod_{k=1}^n (1+\frac{1}{k})$.
1. a) Par l’absurde : si $q \in \mathbb{Q}$, $i \notin \mathbb{Q}$ et $q+i=q’ \in \mathbb{Q}$, alors $i=q’-q \in \mathbb{Q}$, ce qui est une contradiction.
1. b) Par l’absurde : si $\sqrt{2} = p/q$ avec $p,q$ premiers entre eux, alors $2q^2=p^2$. Donc $p$ est pair ($p=2k$), d’où $2q^2=4k^2 \implies q^2=2k^2$. Donc $q$ est aussi pair, ce qui contredit le fait que $p,q$ sont premiers entre eux.
1. c) Soit $x=0.3364…$. On a $10^4 x = 3364.3364… = 3364+x$. Donc $9999x = 3364$, d’où $x=3364/9999 \in \mathbb{Q}$.
2. On remarque que $a \pm 2\sqrt{a-1} = (\sqrt{a-1} \pm 1)^2$. Donc $x = |\sqrt{a-1}+1| + |\sqrt{a-1}-1|$. Si $1 \le a \le 2$, $x=2$. Si $a \ge 2$, $x=2\sqrt{a-1}$.
3. a) D’après la formule du binôme de Newton, $A=(1+1)^n=2^n$.
3. b) C’est un produit télescopique : $B = \prod_{k=1}^n \frac{k+1}{k} = \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \dots \cdot \frac{n+1}{n} = n+1$.
Pour les ensembles suivants, déterminer les majorants, minorants, sup, inf, max et min.
1. $[-\alpha, \alpha]$, $[-\alpha, \alpha[$, $]-\alpha, \alpha]$, $]-\alpha, \alpha[$.
2. $A=\{x \in \mathbb{R} \mid x^2 < 2\}$.
3. $A=\{1 – \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^*\}$.
1. Pour $[-\alpha, \alpha]$: Maj=$[\alpha, +\infty[$, Min=$]-\infty, -\alpha]$, sup=max=$\alpha$, inf=min=$-\alpha$. Pour les autres, les bornes sup/inf sont les mêmes, mais le max/min n’existe pas si la borne est exclue.
2. $A=]-\sqrt{2}, \sqrt{2}[$. Maj=$[\sqrt{2}, +\infty[$, Min=$]-\infty, -\sqrt{2}]$, sup=$\sqrt{2}$, inf=$-\sqrt{2}$. max et min n’existent pas.
3. $A=\{0, 1/2, 2/3, …\}$. On a $0 \le 1-1/n < 1$. Maj=$[1, +\infty[$, Min=$]-\infty, 0]$. sup=1 (n'est pas atteint), inf=min=0 (atteint pour n=1).
Soit $A$ une partie non vide et bornée de $\mathbb{R}$. Soit $B = \{|x-y| \mid (x,y) \in A^2\}$. Montrer que $B$ est majorée et que $\sup(B) = \sup(A) – \inf(A)$.
1. Soit $m=\inf(A)$ et $M=\sup(A)$. Pour tous $x,y \in A$, on a $m \le x \le M$ et $m \le y \le M$. Donc $m-M \le x-y \le M-m$, ce qui implique $|x-y| \le M-m$. L’ensemble $B$ est donc majoré par $M-m$.
2. Pour montrer que $M-m$ est la borne supérieure, il faut montrer que pour tout $\epsilon > 0$, il existe un élément de $B$ plus grand que $M-m-\epsilon$. Par caractérisation des bornes, on peut trouver $x \in A$ tel que $x > M-\epsilon/2$ et $y \in A$ tel que $y < m+\epsilon/2$. Alors $x-y > (M-\epsilon/2) – (m+\epsilon/2) = M-m-\epsilon$. Comme $|x-y| \ge x-y$, on a trouvé un élément de $B$ qui vérifie la condition.
Soient $A, B$ des parties bornées de $\mathbb{R}$. Montrer les relations sur les bornes sup/inf de $A \cup B$, $A \cap B$, $A+B$ et $-A$.
Les démonstrations reposent sur les définitions des bornes et des opérations sur les ensembles.
- $\sup(A \cup B) = \max(\sup A, \sup B)$ et $\inf(A \cup B) = \min(\inf A, \inf B)$.
- $\sup(A \cap B) \le \min(\sup A, \sup B)$ et $\inf(A \cap B) \ge \max(\inf A, \inf B)$.
- $\sup(A+B) = \sup A + \sup B$ et $\inf(A+B) = \inf A + \inf B$.
- $\sup(-A) = -\inf A$ et $\inf(-A) = -\sup A$.
En utilisant la caractérisation des bornes, trouver les bornes sup/inf et max/min (s’ils existent) des ensembles suivants :
1. $A=\{\frac{3n+1}{2n+1}, n \in \mathbb{N}\}$
2. $B=\{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}, n \in \mathbb{N}^*\}$
3. $C=\{e^{-n}, n \in \mathbb{N}\}$
4. $D=\{\frac{1}{n^2}-2, n \in \mathbb{N}^*\}$
1. $A=\{1, 4/3, 7/5, …\}$. La suite est croissante de limite $3/2$. inf=min=1 (pour n=0). sup=3/2 (non atteint). max n’existe pas.
2. $B=\{2, 3/4, 4/9, …\}$. La suite est décroissante de limite 0. sup=max=2 (pour n=1). inf=0 (non atteint). min n’existe pas.
3. $C=\{1, 1/e, 1/e^2, …\}$. La suite est décroissante de limite 0. sup=max=1 (pour n=0). inf=0 (non atteint). min n’existe pas.
4. $D=\{-1, -7/4, -17/9, …\}$. La suite est croissante de limite -2. sup=max=-1 (pour n=1). inf=-2 (non atteint). min n’existe pas.