Exercices corrigés : Le produit scalaire – Tronc commun Science

Exercices : Le produit scalaire – Chapitre 13

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Exercices : Le produit scalaire

Chapitre 13

Nom et Prénom : …………………………………………………… Classe : …………
Exercice 1

Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs tels que : \(||\vec{u}||=\frac{5}{2}\sqrt{2}\) et \(||\vec{v}||=4\) et \(\overline{(\vec{u};\vec{v})}\equiv\frac{\pi}{4}[2\pi]\). Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\).

Exercice 2

Soit ABC un triangle tel que : \(AB=3\), \(AC=4\) et \(BAC=\frac{2\pi}{3}\). Calculer: \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\).

Exercice 3

Déterminer l’angle \((\vec{u};\vec{v})\) (ou une approximation, si c’est possible) dans les cas suivants :

  • a) \(||\vec{u}||=4\) et \(||\vec{v}||=8\) et \(\vec{u}\cdot\vec{v}=32\).
  • b) \(||\vec{u}||=\sqrt{2}\) et \(||\vec{v}||=2\sqrt{2}\) et \(\vec{u}\cdot\vec{v}=2\sqrt{3}\).
  • c) \(||\vec{u}||=1\), \(||\vec{v}||=6\) et \(\vec{u}\cdot\vec{v}=-3\).
Exercice 4

Dans chaque cas, indiquer si le produit scalaire \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) est positif (\(>0\)), négatif (\(<0\)) ou nul (\(=0\)).

Exercice 5

Dans la configuration ci-dessous, on a \(AB=7\). Déterminer, par lecture graphique, les produits scalaires suivants :

1) \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\)    2) \(\vec{BA}\cdot\vec{DB}\)    3) \(\vec{AB}\cdot\vec{AE}\)    4) \(\vec{AB}\cdot\vec{DE}\)

Exercice 6

ABCD est un carré de côté 2cm. Les points M et N sont définis par: \(\vec{CM}=\frac{5}{4}\vec{CD}\) et \(\vec{BN}=\frac{4}{5}\vec{BC}\).

  1. Ecrire \(\vec{AN}\) et \(\vec{BM}\) en fonction des vecteurs \(\vec{BC}\) et \(\vec{CD}\).
    1. Calculer \(\vec{AN}\cdot\vec{BM}\).
    2. Que peut-on dire pour les droites (AN) et (BM)?
Exercice 7

\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs tels que : \(||\vec{u}||=3\) et \(||\vec{v}||=2\) et \(\vec{u}\cdot\vec{v}=-\frac{3}{2}\). Calculer :

  1. \(A=(\vec{u}+\vec{v})\cdot(2\vec{u}-3\vec{v})\)
  2. \(B=(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})\)
  3. \(C=(\vec{u}-\vec{v})^{2}\) et \(D=(3\vec{u}+2\vec{v})^{2}\)
  4. \(E=||\vec{u}+\vec{v}||\) et \(F=||\vec{u}-\vec{v}||\)
Exercice 8

A, B et C sont trois points du plan tels que \(AB=3\), \(AC=2\) et \(BAC=\frac{\pi}{3}\) radians.

  1. On pose: \(\vec{u}=\vec{AB}\) et \(\vec{v}=\vec{AC}\). Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\).
  2. Construire les points D et E définis par \(\vec{AD}=2\vec{u}-3\vec{v}\) et \(\vec{AE}=-\vec{u}+4\vec{v}\).
  3. Calculer les produits scalaires suivants : a) \(\vec{AD}\cdot\vec{AD}\) b) \(\vec{AD}\cdot\vec{AE}\) c) \(\vec{AE}\cdot\vec{AE}\).
  4. En déduire une valeur approchée à 0,1 degré près par défaut de l’angle DAE.
Exercice 9

Soit CFG un triangle tels que: \(CF=7\), \(CG=6\) et \(FG=3\). En appliquant la propriété suivante :
Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont deux vecteurs alors on a : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=\frac{1}{2}(||\vec{u}||^{2}+||\vec{v}||^{2}-||\vec{u}-\vec{v}||^{2})\).
Calculer: \(\vec{CG}\cdot\vec{CF}\).

Exercice 10

Considérons un triangle ABC tels que : \(BC=7\), \(AB=6\) et \(AC=5\).

    1. Calculer: \(\cos(BAC)\).
    2. Calculer \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\). En déduire que: \(\vec{BA}\cdot\vec{BC}=30\).
  2. Soit H le projeté orthogonal de A sur (BC). Calculer BH.
Exercice 11

ABC est un triangle tel que \(AB=5\), \(BC=8\) et \(AC=7\) et I est le milieu de [BC]. Calculer la longueur AI.

Exercice 12

Soit ABC un triangle tel que: \(AB=\sqrt{7}\) et \(AC=2\) et \(BC=3\). I Le milieu du segment \([BC]\).

    1. Calculer: \(\cos(B\hat{A}C)\).
    2. Montrer que: \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=1\).
    3. Calculer AI.
  2. Soit M un point tel que: \(\vec{AM}=\frac{1}{3}\vec{AB}+\frac{1}{6}\vec{AC}\).
    1. Calculer: \(\vec{AM}\cdot\vec{AC}\).
    2. Montrer que: \(\vec{MB}\cdot\vec{AC}=0\).
    3. Que peut-on déduire des droites (MB) et (AC)?
Exercice 13

Soit ABC un triangle tel que: \(a=BC=6\) et \(A=30^{\circ}\) et \(B=73^{\circ}\). Calculer b et c.

Exercice 14

Soit ABC un triangle isocèle et rectangle en B tel que \(AB=\sqrt{2}\). On construit à l’extérieur du triangle ABC le triangle équilatéral ABD.

  1. Calculer \(\vec{BA}\cdot\vec{BD}\) et \(\vec{BC}\cdot\vec{BD}\).
  2. Calculer: AC et DC.
  3. Montrer que: \(\vec{AC}\cdot\vec{AD}=1-\sqrt{3}\).
  4. Vérifier que: \(D\hat{A}C=\frac{7\pi}{12}\).
  5. En déduire: \(\cos\frac{7\pi}{12}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\).
Exercice 15

Soient A et B deux points distincts du plan tel que: \(AB=4\).

  1. Déterminer et représenter l’ensemble (E) des points M du plan tel que: \(\vec{AM}\cdot\vec{BM}=0\).
  2. Déterminer et représenter l’ensemble (F) des points M du plan tel que : \(\vec{MA}\cdot\vec{MB}=\frac{9}{4}\).
Solutions : Le produit scalaire – Chapitre 13

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Solutions : Le produit scalaire

Chapitre 13

Solution de l’exercice 1

On applique la définition du produit scalaire :
\(\vec{u}\cdot\vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{5}{2}\sqrt{2} \times 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{20 \times 2}{4} = 10\).

Solution de l’exercice 2

\(\vec{AB}\cdot\vec{AC} = ||\vec{AB}|| \times ||\vec{AC}|| \times \cos(\frac{2\pi}{3}) = 3 \times 4 \times (-\frac{1}{2}) = -6\).

Solution de l’exercice 3

On utilise la formule : \(\cos(\vec{u};\vec{v})=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{||\vec{u}||\times||\vec{v}||}\).

  • a) \(\cos(\vec{u};\vec{v}) = \frac{32}{4\times8} = 1\). Donc, l’angle est \(0\) rad.
  • b) \(\cos(\vec{u};\vec{v}) = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}\times2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Donc, l’angle est \(\frac{\pi}{6}\) ou \(-\frac{\pi}{6}\) rad.
  • c) \(\cos(\vec{u};\vec{v}) = \frac{-3}{1\times6} = -\frac{1}{2}\). Donc, l’angle est \(\frac{2\pi}{3}\) ou \(-\frac{2\pi}{3}\) rad.
Solution de l’exercice 5

On utilise le projeté orthogonal pour calculer les produits scalaires.

  1. \(\vec{AB}\cdot\vec{AC} = \vec{AB}\cdot\vec{AH} = AB \times AH = 7 \times 5 = 35\) (H est le projeté de C sur (AB)).
  2. \(\vec{BA}\cdot\vec{DB} = -\vec{BA}\cdot\vec{BD} = – (BA \times BH) = – (7 \times 2) = -14\).
  3. \(\vec{AB}\cdot\vec{AE} = \vec{AB}\cdot\vec{AK} = -AB \times AK = -7 \times 2 = -14\) (K est le projeté de E sur (AB)).
  4. \(\vec{AB}\cdot\vec{DE} = \vec{AB}\cdot(\vec{DA}+\vec{AE}) = \vec{AB}\cdot\vec{DA} + \vec{AB}\cdot\vec{AE} = -35 – 14 = -49\).
Solution de l’exercice 10
    1. D’après le théorème d’Al-Kashi : \(BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 AB \cdot AC \cos(\widehat{BAC})\).
      \(\cos(\widehat{BAC}) = \frac{6^2+5^2-7^2}{2 \cdot 6 \cdot 5} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}\).
    2. \(\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 6 \times 5 \times \frac{1}{5} = 6\).
      \(\vec{BA}\cdot\vec{BC} = \vec{BA}\cdot(\vec{BA}+\vec{AC}) = ||\vec{BA}||^2 + \vec{BA}\cdot\vec{AC} = 6^2 – \vec{AB}\cdot\vec{AC} = 36 – 6 = 30\).
  2. Soit H le projeté orthogonal de A sur (BC). On a \(\vec{BC}\cdot\vec{BA} = \vec{BC}\cdot\vec{BH}\). Comme le produit scalaire est positif, B, H, C sont dans cet ordre. Donc \(\vec{BC}\cdot\vec{BH} = BC \times BH\).
    \(30 = 7 \times BH \implies BH = \frac{30}{7}\).
Solution de l’exercice 11

D’après le théorème de la médiane : \(AB^2 + AC^2 = 2AI^2 + \frac{BC^2}{2}\).
\(5^2 + 7^2 = 2AI^2 + \frac{8^2}{2} \implies 25 + 49 = 2AI^2 + 32 \implies 74 = 2AI^2 + 32 \implies 2AI^2 = 42 \implies AI^2 = 21\).
Donc, \(AI = \sqrt{21}\).

Solution de l’exercice 15
  1. L’ensemble (E) des points M tels que \(\vec{AM}\cdot\vec{BM}=0\) est le cercle de diamètre [AB]. Son centre est le milieu I de [AB] et son rayon est \(R = AB/2 = 2\).
  2. L’ensemble (F) des points M tels que \(\vec{MA}\cdot\vec{MB}=\frac{9}{4}\). On utilise le théorème de la médiane : \(\vec{MA}\cdot\vec{MB} = MI^2 – \frac{AB^2}{4}\).
    \(MI^2 – \frac{4^2}{4} = \frac{9}{4} \implies MI^2 – 4 = \frac{9}{4} \implies MI^2 = \frac{25}{4}\).
    Donc \(MI = \frac{5}{2}\). L’ensemble (F) est le cercle de centre I et de rayon \(R’ = 2.5\).
(E) (F) A B I