Écrire sous forme algébrique puis exponentielle les nombres complexes suivants :
$z_1 = \frac{2+2\sqrt{3}i}{\sqrt{6}+\sqrt{2}i}$, $z_2 = \left(\frac{\sqrt{3}+i}{8i}\right)^{2}$, $z_3 = \left[\frac{1+i-\sqrt{3}(1-i)}{1+i}\right]^{2}$, $z_4 = \frac{(1+i)^{4}}{(\sqrt{3}-i)^{3}}$.
$z_1 = \sqrt{2} + i\frac{\sqrt{2}}{ \sqrt{3}} = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{6}}$ (Erreur dans le corrigé original, le résultat est $\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{6}}$)
$z_2 = \frac{1}{32}(2-i\sqrt{3})$ (Erreur dans le corrigé original, le résultat est $\frac{-1}{32}(1+i\sqrt{3})$) = $\frac{1}{16}e^{-i\frac{2\pi}{3}}$
$z_3 = -2+2i\sqrt{3} = 4e^{i\frac{2\pi}{3}}$
$z_4 = \frac{-4}{-8i} = -\frac{i}{2} = \frac{1}{2}e^{-i\frac{\pi}{2}}$
On considère $z_1 = 1+i\sqrt{3}$, $z_2=1+i$ et $z_3 = \frac{z_1}{z_2}$.
1. Écrire $z_3$ sous forme algébrique puis trigonométrique.
2. En déduire les valeurs exactes de $\cos(\frac{\pi}{12})$ et $\sin(\frac{\pi}{12})$.
1. Forme algébrique : $z_3 = \frac{1+i\sqrt{3}}{1+i} = \frac{(1+i\sqrt{3})(1-i)}{2} = \frac{1+\sqrt{3}}{2} + i\frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
Forme exponentielle : $z_1=2e^{i\pi/3}$, $z_2=\sqrt{2}e^{i\pi/4}$. Donc $z_3 = \frac{2}{\sqrt{2}}e^{i(\pi/3-\pi/4)} = \sqrt{2}e^{i\pi/12}$.
Forme trigonométrique : $z_3 = \sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{12}) + i\sin(\frac{\pi}{12}))$.
2. Par identification des parties réelle et imaginaire, on a :
$\cos(\frac{\pi}{12}) = \frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$ et $\sin(\frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$.
Linéariser $\cos^3\theta$ et $\sin^3\theta$.
En utilisant les formules d’Euler et le binôme de Newton :
$\cos^3\theta = \left(\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}(e^{i3\theta} + 3e^{i\theta} + 3e^{-i\theta} + e^{-i3\theta}) = \frac{1}{4}\cos(3\theta) + \frac{3}{4}\cos\theta$.
$\sin^3\theta = \left(\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\right)^3 = \frac{-1}{8i}(e^{i3\theta} – 3e^{i\theta} + 3e^{-i\theta} – e^{-i3\theta}) = -\frac{1}{4}\sin(3\theta) + \frac{3}{4}\sin\theta$.
Soit $z = -2\cos\theta – 2i\sin\theta$. Peut-on dire que $z=-2e^{i\theta}$ est la forme exponentielle de $z$ ? Expliquer.
Non, car dans la forme exponentielle $re^{i\alpha}$, le module $r$ doit être un réel positif. Ici, le module est $|-2|=2$. On écrit $z = -2(\cos\theta+i\sin\theta) = 2e^{i\pi}e^{i\theta} = 2e^{i(\theta+\pi)}$. La forme exponentielle correcte est $2e^{i(\theta+\pi)}$.
1. Soit $\omega = 5+12i$. Vérifier que $|\omega|=13$.
2. Déterminer les racines carrées de $\omega$.
3. En déduire les solutions de $(1+i)z^2 + z – 2 – i = 0$.
1. $|\omega| = \sqrt{5^2+12^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$.
2. On cherche $z=a+ib$ tel que $z^2=\omega$. On obtient le système $a^2-b^2=5$, $2ab=12$ et $a^2+b^2=13$. On trouve $a^2=9$ et $b^2=4$. Les racines sont $3+2i$ et $-3-2i$.
3. Le discriminant est $\Delta = 1 – 4(1+i)(-2-i) = 1+4(2+3i+i^2) = 5+12i = \omega$. Les solutions sont $z = \frac{-1 \pm (3+2i)}{2(1+i)}$. On trouve $z_1=1$ et $z_2 = \frac{-3}{2}+\frac{i}{2}$.
Comment choisir l’entier $n$ pour que $(\sqrt{3}+i)^n$ soit réel ? Imaginaire pur ?
On a $\sqrt{3}+i = 2e^{i\pi/6}$. Donc $(\sqrt{3}+i)^n = 2^n e^{in\pi/6} = 2^n(\cos(\frac{n\pi}{6}) + i\sin(\frac{n\pi}{6}))$.
Le nombre est réel si sa partie imaginaire est nulle, soit $\sin(\frac{n\pi}{6})=0 \iff \frac{n\pi}{6} = k\pi \iff n=6k$ pour $k \in \mathbb{Z}$.
Le nombre est imaginaire pur si sa partie réelle est nulle, soit $\cos(\frac{n\pi}{6})=0 \iff \frac{n\pi}{6} = \frac{\pi}{2}+k\pi \iff n=3+6k$ pour $k \in \mathbb{Z}$.
Soit $z=x+iy$ et $L(z)=z(\bar{z}-4(1-i\sqrt{3}))-4i(x\sqrt{3}-y)+12$.
1. Montrer que $L(z)$ est réel pour tout $z \in \mathbb{C}$.
2. Déterminer l’ensemble (C) des points $M$ d’affixe $z$ tels que $L(z)=0$.
3. Soit $\omega$ l’affixe du centre de (C). Donner la forme exponentielle de $\omega$ et montrer que $\omega^{2016}=2^{4032}$.
4. Résoudre $z^2+(3i-4)z+1-7i=0$.
5. Soit $P(z)=z^3+z^2(\sqrt{3}-4i)+z(-5-3i\sqrt{3})-2(\sqrt{3}-i)$. Montrer que $2i$ est une racine et en déduire les autres.
1. Après développement, on trouve $L(z) = x^2+y^2-4x-4y\sqrt{3}+12$, qui est un réel.
2. $L(z)=0 \iff (x-2)^2 + (y-2\sqrt{3})^2 = 4$. (C) est le cercle de centre $(2, 2\sqrt{3})$ et de rayon 2.
3. $\omega = 2+2i\sqrt{3} = 4e^{i\pi/3}$. Donc $\omega^{2016} = 4^{2016}e^{i2016\pi/3} = 4^{2016}e^{i672\pi} = 4^{2016} = 2^{4032}$.
4. $\Delta = (3i-4)^2-4(1-7i) = 3+4i = (2+i)^2$. Les solutions sont $z_1=3-i$ et $z_2=1-2i$.
5. a) On vérifie que $P(2i)=0$. On factorise par $(z-2i)$ et on trouve $P(z)=(z-2i)(z^2+(\sqrt{3}-2i)z+(-1-i\sqrt{3}))$.
b) On résout l’équation du second degré. $\Delta=3$. Les racines sont $z_3=-\sqrt{3}+i$ et $z_4=i$. L’ensemble des solutions est $\{i, 2i, -\sqrt{3}+i\}$.
Soient $z_A=\sqrt{3}+i, z_B=\sqrt{3}-i, z_C=i, z_E=2ie^{i2\pi/3}, \bar{z}_F=2e^{i\pi/2}$.
1. Donner les formes exponentielles de $z_A, z_B$ et algébriques de $z_E, z_F$.
2. Vérifier que $(\frac{z_A}{2})^{2013}+(\frac{iz_E}{2})^{2013}=-1-i$.
3. Soit $2\alpha=(-1+\sqrt{3})+i(1+\sqrt{3})$. Déterminer $z_D=\alpha^2$ et trouver $n \in \mathbb{N}$ tel que $(\frac{z_D}{z_E})^n \in \mathbb{R}$.
1. $z_A=2e^{i\pi/6}$, $z_B=2e^{-i\pi/6}$, $z_E=-\sqrt{3}-i$, $z_F=2i$.
2. $(\frac{z_A}{2})^{2013} = (e^{i\pi/6})^{2013} = e^{i335.5\pi} = e^{i(334\pi+1.5\pi)} = e^{i3\pi/2}=-i$.
$(\frac{iz_E}{2})^{2013} = (\frac{i(-\sqrt{3}-i)}{2})^{2013} = (\frac{1-i\sqrt{3}}{2})^{2013} = (e^{-i\pi/3})^{2013} = e^{-i671\pi} = e^{-i\pi}=-1$. La somme est bien $-1-i$.
3. a) $z_D=\alpha^2 = -\sqrt{3}+i = 2e^{i5\pi/6}$.
b) $\frac{z_D}{z_E} = \frac{2e^{i5\pi/6}}{2e^{i4\pi/3}} = e^{-i\pi/2}$. $(\frac{z_D}{z_E})^n = e^{-in\pi/2}$. Pour que ce soit un réel, il faut $\sin(-n\pi/2)=0 \iff -n\pi/2=k\pi \iff n=-2k$. Donc $n$ doit être un entier pair.
1. Pour quelles valeurs de $z \in \mathbb{C}$ a-t-on $|1+iz|=|1-iz|$ ?
2. Soit l’équation $(E): (\frac{1+iz}{1-iz})^n = \frac{1+ia}{1-ia}$ avec $a \in \mathbb{R}$. Montrer que les solutions sont réelles, puis les trouver.
3. Calculer les racines cubiques de $\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i}$.
1. $|1+iz|=|1-iz| \iff z$ est à égale distance des points d’affixes $i$ et $-i$. C’est donc la médiatrice du segment, soit l’axe des réels. $z \in \mathbb{R}$.
2. En passant au module dans $(E)$, on a $|\frac{1+iz}{1-iz}|^n = |\frac{1+ia}{1-ia}| = 1$. Donc $|1+iz|=|1-iz|$, ce qui implique que les solutions $z$ sont réelles. On pose $z=\tan\theta$ et $a=\tan\alpha$. L’équation devient $e^{i2n\theta} = e^{i2\alpha}$. Les solutions sont $z = \tan(\frac{\alpha+k\pi}{n})$ pour $k \in \{0, \dots, n-1\}$.
3. $\frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i} = \frac{e^{i\pi/6}}{e^{-i\pi/6}} = e^{i\pi/3}$. On cherche $z$ tel que $z^3=e^{i\pi/3}$. Les racines sont $e^{i\pi/9}$, $e^{i7\pi/9}$, $e^{i13\pi/9}$.
Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que :
1. $|z+5i|=2$.
2. $|\bar{z}-3+i|=|z-5|$.
3. $\text{arg}(z) = \frac{\pi}{4}[\pi]$.
1. C’est le cercle de centre d’affixe $-5i$ et de rayon 2.
2. $|\bar{z}-3+i| = |z-3-i|$. L’équation est $|z-(3+i)|=|z-5|$. C’est la médiatrice du segment joignant les points d’affixes $3+i$ et $5$.
3. C’est la première bissectrice (droite d’équation $y=x$), privée de l’origine.