Exercices : Les polynômes – Chapitre 7

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Exercices : Les polynômes

Chapitre 7

Nom et Prénom : …………………………………………………… Classe : …………

Exercice 1

Déterminer parmi les expressions suivantes ceux qui sont des polynômes et déterminer si c’est possible leurs degrés : \(a\in\mathbb{R}\)

\(P(x)=\frac{1}{4}x^{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}x^{2}-\sqrt{3}\)
\(Q(x)=2x^{2}-x-\sqrt{x}\)
\(R(x)=5|x^{2}|+4|x|-5\)
\(M(x)=\frac{5}{3}x^{2}+x+2-7x^{4}\)
\(N(x)=x^{2}+\frac{1}{x}+3\)
\(O(x)=4\)
\(E(x)=(a-1)x^{4}+x^{2}+x+1\)

Exercice 2

Déterminer un polynôme P de degré 2 tel que: \(P(0)=P(1)=5\) et \(P(-2)=3\).

Exercice 3

Lesquels des polynômes ci-dessous sont égaux? Expliquez.

\(P(x)=2x^{3}-2x^{2}+x-3\)
\(Q(x)=2x^{2}(x-2)+(x-1)(2x+3)\)
\(R(x)=2x^{3}+3x^{2}-2x-3\)

Exercice 4

Soit: \(P(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-1\) et \(Q(x)=ax^{5}+(b+c)x^{4}+(c+d)x^{3}+dx^{2}+e\). Déterminer a, b, c et d pour que : \(P=Q\).

Exercice 5

Soit les polynômes suivants :
\(P(x)=12x^{4}-36x^{3}+47x^{2}-30x+7\)
\(Q(x)=(2x^{2}-3x+1)(ax^{2}+bx+c)\)
Déterminer a, b, c pour que \(P=Q\).

Exercice 6

Étudier l’égalité des polynômes dans les cas suivants :

\(P(x)=x^{3}+2x^{2}(x-1)+x\) et \(Q(x)=x^{2}(3x-2)+x\)
\(P(x)=(x-1)^{3}\) et \(Q(x)=x^{3}-3x^{2}-3x+1\)

Exercice 7

Soient \(P(x)\) et \(Q(x)\) deux polynômes. Calculer dans chacun des cas suivants : \(P(x)+Q(x)\); \(P(x)-Q(x)\); \(3P(x)-2Q(x)\).
1. \(P(x)=x^{3}+2x^{2}-1\); \(Q(x)=3x^{4}-x^{3}+x\)
2. \(P(x)=x^{5}-x^{2}+3\); \(Q(x)=-x^{5}+x^{2}-5\)
Calculer \(P(x)\times Q(x)\) et \((P(x))^{2}\) dans chacun des cas suivants et comparer : deg(PQ) et \(deg(P)+deg(Q)\).
1. \(P(x)=x^{2}-1\); \(Q(x)=x^{2}+2x-3\)
2. \(P(x)=x^{4}-x^{2}+2\); \(Q(x)=3x+2\)

Exercice 8

Soit le polynôme : \(P(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6\). Est-ce que les nombres suivants sont des racines du polynôme \(P(x)\) (justifier) ? 1; 2; 3; -2.

Exercice 9

Soit le polynôme: \(P(x)=2x^2-x-1\).

Vérifier que 1 est racine du polynôme \(P(x)\).
Factoriser \(P(x)\).

Exercice 10

Soit le polynôme : \(P(x)=x^{3}+3x^{2}-2x-6\).

Calculer \(P(-3)\) et que peut-on dire?
Déterminer le polynôme \(Q(x)\) tel que : \(P(x)=(x+3)Q(x)\).

Exercice 11

Soit: \(P(x)=2x^{3}-5x^{2}-4x+3\).

Montrer que \(P(x)\) est divisible par \(x-3\).
Factoriser \(P(x)\).

Exercice 12

Soit le polynôme: \(P(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6\).

Effectuer la division euclidienne de \(P(x)\) par \(x+2\) et déterminer le quotient \(Q(x)\) et le reste.
Montrer que \(Q(x)\) est divisible par \(x-3\).
En déduire une factorisation du polynôme P en polynômes de 1er degré.

Exercice 13

Soit: \(P(x)=x^{3}-3x^{2}-6x+8\).

Montrer que 1 est racine du polynôme P.
Factoriser \(P(x)\) en un produit d’un polynôme de 1er degré et d’un polynôme de 2nd degré \(Q(x)\).
Montrer que -2 est racine du polynôme Q.
En déduire une factorisation du polynôme P en polynômes de 1er degré.
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(P(x)=0\).

Exercice 14

Soit: \(P(x)=2x^{3}+3x^{2}+ax+b\) avec \(a\in\mathbb{R}\) et \(b\in\mathbb{R}\).

Déterminer a et b tels que:
1. \(P(x)\) soit divisible par \(x-2\).
2. Le reste de la division euclidienne de \(P(x)\) par \(x-1\) est -12.
Factoriser \(P(x)\) dans ce cas.

Exercice 15

Soit: \(P(x)=x^{3}-3x+2\).

1. Calculer \(P(1)\) et déterminer \(Q(x)\) tel que : \(P(x)=(x-1)Q(x)\).
2. Vérifier que \(P(x)=(x+2)(x-1)^{2}\).
Soit \(\alpha\) un réel tel que: \(1<\alpha<2\). Donner un encadrement de \(\alpha+2\) et de \((\alpha-1)^{2}\) et en déduire que \(0

Exercice 16

Soit: \(P(x)=2x^{4}-9x^{3}+14x^{2}-9x+2\).

Vérifier que 0 n’est pas racine du polynôme \(P(x)\).
Montrer que si \(\alpha\) est racine du polynôme \(P(x)\) alors \(\frac{1}{\alpha}\) est aussi racine du polynôme \(P(x)\).
Vérifier que 2 est racine du polynôme \(P(x)\).
En effectuant la division euclidienne de \(P(x)\) par \(x-2\), trouver un polynôme \(Q(x)\) tel que : \(P(x)=(x-2)Q(x)\).
En déduire que \(Q(\frac{1}{2})=0\).
Déterminer les réels a, b, c tel que: \(Q(x)=(x-\frac{1}{2})(ax^{2}+bx+c)\).
En déduire une factorisation du polynôme P en polynômes de 1er degré.

Solutions : Les polynômes – Chapitre 7

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Solutions : Les polynômes

Chapitre 7

Solution de l’exercice 1

Définition d’un polynôme

Une expression est un polynôme en \(x\) si elle peut s’écrire comme une somme de termes de la forme \(a_k x^k\), où les coefficients \(a_k\) sont des nombres réels et les exposants \(k\) sont des entiers naturels (\(\mathbb{N}=\{0, 1, 2, …\}\)).

\(P(x)=\frac{1}{4}x^{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}x^{2}-\sqrt{3}\) : est un polynôme de degré 3.
\(Q(x)=2x^{2}-x-\sqrt{x}\) : n’est pas un polynôme à cause du terme \(\sqrt{x} = x^{1/2}\).
\(R(x)=5|x^{2}|+4|x|-5 = 5x^2+4|x|-5\) : n’est pas un polynôme à cause du terme \(|x|\).
\(M(x)=\frac{5}{3}x^{2}+x+2-7x^{4}\) : est un polynôme de degré 4.
\(N(x)=x^{2}+\frac{1}{x}+3\) : n’est pas un polynôme à cause du terme \(\frac{1}{x} = x^{-1}\).
\(O(x)=4 = 4x^0\) : est un polynôme de degré 0.
\(E(x)=(a-1)x^{4}+x^{2}+x+1\) : est un polynôme. Si \(a \neq 1\), le degré est 4. Si \(a = 1\), le degré est 2.

Solution de l’exercice 2

Soit \(P(x) = ax^2+bx+c\).

\(P(0)=5 \implies c=5\).
\(P(1)=5 \implies a+b+c=5 \implies a+b=0\).
\(P(-2)=3 \implies 4a-2b+c=3 \implies 4a-2b=-2 \implies 2a-b=-1\).

On résout le système \(\begin{cases} a+b=0 \\ 2a-b=-1 \end{cases}\). En additionnant, on a \(3a=-1 \implies a=-\frac{1}{3}\). Donc \(b=-a=\frac{1}{3}\).
Le polynôme est \(P(x) = -\frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{3}x + 5\).

Solution de l’exercice 3

On développe les polynômes pour les comparer à \(P(x)=2x^{3}-2x^{2}+x-3\).

\(Q(x)=2x^{2}(x-2)+(x-1)(2x+3) = (2x^3 – 4x^2) + (2x^2 + x – 3) = 2x^3 – 2x^2 + x – 3\). On a \(P(x)=Q(x)\).
\(R(x)=2x^{3}+3x^{2}-2x-3\). Le coefficient du terme en \(x^2\) est différent. Donc \(P(x) \neq R(x)\).

Solution de l’exercice 8

On calcule la valeur de \(P(x) = x^3 – 2x^2 – 5x + 6\) pour chaque nombre :

\(P(1) = 1 – 2 – 5 + 6 = 0\). 1 est une racine.
\(P(2) = 8 – 8 – 10 + 6 = -4 \neq 0\). 2 n’est pas une racine.
\(P(3) = 27 – 18 – 15 + 6 = 0\). 3 est une racine.
\(P(-2) = -8 – 8 + 10 + 6 = 0\). -2 est une racine.

Solution de l’exercice 11

Pour montrer que \(P(x)\) est divisible par \(x-3\), on montre que 3 est une racine :
\(P(3) = 2(3)^3 – 5(3)^2 – 4(3) + 3 = 54 – 45 – 12 + 3 = 0\). C’est vérifié.
On effectue la division euclidienne de \(P(x)\) par \(x-3\). On trouve \(2x^2+x-1\).
Donc, \(P(x) = (x-3)(2x^2+x-1)\).

Solution de l’exercice 13

\(P(1) = 1 – 3 – 6 + 8 = 0\). Donc 1 est une racine.
Par division euclidienne par \((x-1)\), on trouve \(P(x)=(x-1)(x^2-2x-8)\). Donc \(Q(x)=x^2-2x-8\).
\(Q(-2) = (-2)^2 – 2(-2) – 8 = 4 + 4 – 8 = 0\). Donc -2 est racine de Q.
On factorise Q : \(Q(x)=(x+2)(x-4)\). Donc \(P(x)=(x-1)(x+2)(x-4)\).
\(P(x)=0 \iff (x-1)(x+2)(x-4)=0\). Les solutions sont \(S=\{-2; 1; 4\}\).

Solution de l’exercice 16

\(P(0)=2 \neq 0\). Donc 0 n’est pas une racine.
Soit \(\alpha\) une racine, \(P(\alpha)=0\). On calcule \(P(\frac{1}{\alpha}) = \frac{2-9\alpha+14\alpha^2-9\alpha^3+2\alpha^4}{\alpha^4} = \frac{P(\alpha)}{\alpha^4} = \frac{0}{\alpha^4}=0\). Donc \(\frac{1}{\alpha}\) est aussi une racine.
\(P(2) = 2(16)-9(8)+14(4)-9(2)+2 = 32-72+56-18+2=0\). 2 est une racine.
La division euclidienne de \(P(x)\) par \((x-2)\) donne \(Q(x)=2x^3-5x^2+4x-1\).
Puisque 2 est une racine, \(\frac{1}{2}\) l’est aussi. Comme \(P(x)=(x-2)Q(x)\), on a \(P(\frac{1}{2})=(\frac{1}{2}-2)Q(\frac{1}{2})\). Comme \(P(\frac{1}{2})=0\) et \(\frac{1}{2}-2 \neq 0\), on doit avoir \(Q(\frac{1}{2})=0\).
Puisque \(Q(\frac{1}{2})=0\), on peut factoriser \(Q(x)\) par \((x-\frac{1}{2})\). La division euclidienne donne \(2x^2-4x+2\). Donc \(a=2, b=-4, c=2\).
On a \(P(x)=(x-2)Q(x) = (x-2)(x-\frac{1}{2})(2x^2-4x+2)\). On factorise le dernier terme : \(2x^2-4x+2 = 2(x^2-2x+1) = 2(x-1)^2\).
Donc \(P(x)=(x-2) \cdot (x-\frac{1}{2}) \cdot 2(x-1)^2 = (x-2)(2x-1)(x-1)^2\).