Exercices corrigés : L’ordre et opérations – Tronc commun Science

Exercices : L’ordre dans R – Chapitre 5

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Exercices : L’ordre dans \( \mathbb{R} \)

Chapitre 5

Nom et Prénom : …………………………………………………… Classe : …………
Exercice 1

Soit \(n\) un entier naturel non nul, comparer \(a\) et \(b\) dans les cas suivants :

  1. \(a=\frac{1}{n}\) ; \(b=\frac{2}{n+1}\)
  2. \(a=\frac{n}{n+1}\) ; \(b=\frac{n+1}{n+2}\)
  3. \(a=\frac{n}{\sqrt{n+1}}\) ; \(b=\sqrt{n+1}\)
Exercice 2

Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs.

  1. Montrer que \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\)
  2. Développer \((a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\)
  3. En déduire que \((a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\ge 4\)
Exercice 3

Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a\ge 1\) et \(b\ge 1\). Montrer que \(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\le\sqrt{ab}\)

Exercice 4

Soient \(x\) et \(y\) deux réels positifs tels que \(x+y=1\).

  1. Montrer que \(xy \le \frac{1}{4}\)
  2. En déduire que pour tout \(n\in\mathbb{N} : (1+\frac{1}{x^{n}})(1+\frac{1}{y^{n}})\ge(1+2^{n})^{2}\)
Exercice 5

Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que \(0

  1. Montrer que \(x^{2}
  2. Montrer que si \(xy=15\) alors \(x<\sqrt{15}
  3. Montrer que \(\frac{931}{241}<\sqrt{15}<\frac{3615}{931}\)
Exercice 6

Soient \(x\) et \(y\) deux réels tels que : \(1\le x\le 2\) et \(\frac{1}{2}\le y\le\frac{3}{2}\). On pose \(E=x^{2}-y^{2}+x+y\).

  1. Donner un encadrement de \(E\).
  2. Vérifier que \(E=(x+y)(x-y+1)\) et en déduire un encadrement de \(E\).
  3. En déduire que \(\frac{3}{4}\le E\le\frac{29}{4}\).
Exercice 7

Soit \(x\) un nombre réel de l’intervalle \([-\frac{1}{2},1]\). On pose \(A(x)=\frac{2x+3}{x+2}\).

  1. Donner un encadrement du nombre \(A(x)\).
    1. Déterminer les deux réels \(a\) et \(b\) tels que : \(A(x)=a+\frac{b}{x+2}\).
    2. Déterminer un autre encadrement du nombre \(A(x)\).
  3. Déterminer le plus fin des deux encadrements précédents de \(A(x)\).
Exercice 8
  1. Comparer \(2\sqrt{7}\) et \(3\sqrt{3}\).
  2. Développer \((3\sqrt{3}-2\sqrt{7})^{2}\).
  3. On pose \(A=\sqrt{55-12\sqrt{21}}\). Simplifier A.
  4. Sachant que: \(1,7<\sqrt{3}<1,8\) et \(2,6<\sqrt{7}<2,7\). Donner une approximation de A d'amplitude 0,5 par défaut et par excès.
Exercice 9

Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que : \(|a+2|\le 1\) et \(0\le b\le 2\).

  1. Encadrer le nombre \(a\) et montrer que \(|a+b+1|\le 2\).
  2. On considère le nombre réel A tel que: \(A=ab-2a+3b\). Vérifier que: \(A=(a+3)(b-2)+6\) et montrer que \(2\le A\le 6\).
Exercice 10

Soit \(x\in[4;6]\). On pose \(A=\frac{2x+3}{x-2}\).

  1. Donner un encadrement de A.
    1. Vérifier que \(A=2+\frac{7}{x-2}\).
    2. Donner un autre encadrement de A.
Exercice 11

Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a\ge 2\), \(b\le 5\) et \(b-a=2\).

  1. Montrer que \(a\le 3\) et \(4\le b\).
  2. Calculer le nombre \(A=\sqrt{(a-3)^{2}}+\sqrt{(b-4)^{2}}\).
  3. Calculer le nombre \(B=|a+b-6|+|a+b-8|\).
Exercice 12

Soit \(x\) un nombre réel.

  1. Vérifier que : \(x^{2}-2x=(x-1)^{2}-1\).
  2. Soit \(x\) de l’intervalle \([1;3]\). Montrer que: \(-1\le x^{2}-2x\le 3\).
    1. Sachant qu’on a : \(x\in[1;3]\). Montrer que: \(\frac{1}{2}\le\frac{3}{x^{2}-2x+3}\le\frac{3}{2}\).
    2. En déduire que : \(|\frac{3}{x^{2}-2x+3}-1|\le\frac{1}{2}\).
Exercice 13

Soit \(x\) un nombre réel. On pose \(E=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\).

  1. Montrer que : \(E-1=\frac{-x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}+1+x^{2}}\).
  2. En déduire que : \(|E-1|\le\frac{1}{2}x^{2}\).
  3. Trouver une valeur approchée du nombre \(\frac{1}{\sqrt{1,0004}}\) d’amplitude \(2\times 10^{-4}\).
Solutions : L’ordre dans R – Chapitre 5

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Solutions : L’ordre dans \( \mathbb{R} \)

Chapitre 5

Solution de l’exercice 1
Comparer deux nombres

Pour comparer deux nombres \(a\) et \(b\), on étudie le signe de leur différence \(a-b\).

  1. On calcule la différence \(a-b\) : \(a-b=\frac{1}{n}-\frac{2}{n+1}=\frac{1(n+1)-2n}{n(n+1)}=\frac{1-n}{n(n+1)}\).
    Puisque \(n\in\mathbb{N}^{*}\), on a \(n \ge 1\). Alors \(1-n \le 0\). Le dénominateur est strictement positif.
    Conclusion : \(a-b \le 0\), ce qui signifie que \(a \le b\).
  2. On calcule la différence \(a-b\) : \(a-b=\frac{n}{n+1}-\frac{n+1}{n+2}=\frac{n(n+2)-(n+1)^{2}}{(n+1)(n+2)}=\frac{-1}{(n+1)(n+2)}\).
    Puisque \(n\in\mathbb{N}^{*}\), le dénominateur est positif. Le numérateur est négatif.
    Conclusion : \(a-b < 0\), ce qui signifie que \(a < b\).
  3. On met au même dénominateur : \(a-b=\frac{n}{\sqrt{n+1}}-\sqrt{n+1}=\frac{n-(n+1)}{\sqrt{n+1}}=\frac{-1}{\sqrt{n+1}}\).
    Puisque \(n\in\mathbb{N}^{*}\), le dénominateur est positif.
    Conclusion : \(a-b < 0\), ce qui signifie que \(a < b\).
Solution de l’exercice 2
  1. On étudie le signe de la différence \((\frac{a}{b}+\frac{b}{a})-2 = \frac{a^{2}+b^{2}-2ab}{ab} = \frac{(a-b)^{2}}{ab}\).
    Un carré est toujours \(\ge 0\) et \(ab>0\). Donc, le quotient est \(\ge 0\). Par suite, \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\).
  2. \((a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\).
  3. D’après la question 1, \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\). En ajoutant 2 des deux côtés, on obtient : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2\ge4\). En utilisant le résultat de la question 2, on conclut : \((a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\ge4\).
Solution de l’exercice 3

Les deux membres de l’inégalité sont positifs, on peut donc comparer leurs carrés. On étudie le signe de \((\sqrt{ab})^{2} – (\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1})^{2}\).
\(ab – (a-1 + b-1 + 2\sqrt{(a-1)(b-1)}) = ab – a – b + 2 – 2\sqrt{(a-1)(b-1)}\)
\(= (ab-a) – (b-1) + 1 – 2\sqrt{(a-1)(b-1)}\)
\(= a(b-1) – (b-1) + 1 – 2\sqrt{(a-1)(b-1)}\)
\(= (a-1)(b-1) – 2\sqrt{(a-1)(b-1)} + 1\)
\(= (\sqrt{(a-1)(b-1)})^{2} – 2\sqrt{(a-1)(b-1)} \cdot 1 + 1^2\)
\(= [\sqrt{(a-1)(b-1)}-1]^{2}\)
Un carré est toujours positif ou nul. La différence des carrés est positive, donc \((\sqrt{ab})^{2} \ge (\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1})^{2}\). Comme les bases sont positives, on conclut que \(\sqrt{ab} \ge \sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}\).

Solution de l’exercice 4
  1. On part de l’inégalité \((\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2} \ge 0\). En développant, on a \(x – 2\sqrt{xy} + y \ge 0\). Donc \(x+y \ge 2\sqrt{xy}\). Puisque \(x+y=1\), on obtient \(1 \ge 2\sqrt{xy}\). En élevant au carré : \(1 \ge 4xy\), d’où \(xy\le\frac{1}{4}\).
  2. On développe le produit : \((1+\frac{1}{x^{n}})(1+\frac{1}{y^{n}})=1+\frac{1}{x^{n}}+\frac{1}{y^{n}}+\frac{1}{(xy)^{n}}\).
    De \(xy\le\frac{1}{4}\), on déduit \(\frac{1}{xy}\ge4\), et donc \(\frac{1}{(xy)^n} \ge 4^n\).
    Aussi, \(x^n+y^n \ge 2\sqrt{x^ny^n} = 2(\sqrt{xy})^n\). Donc \(\frac{x^n+y^n}{(xy)^n} \ge \frac{2}{(\sqrt{xy})^n}\). Puisque \(\sqrt{xy} \le \frac{1}{2}\), \(\frac{1}{(\sqrt{xy})^n} \ge 2^n\). Par suite, \(\frac{x^n+y^n}{(xy)^n} \ge 2 \cdot 2^n = 2^{n+1}\).
    En combinant : \((1+\frac{1}{x^{n}})(1+\frac{1}{y^{n}}) \ge 1 + 2^{n+1} + 4^n = 1 + 2 \cdot 2^n + (2^n)^2 = (1+2^n)^2\).
Solution de l’exercice 6
  1. Première méthode :
    • \(1\le x\le 2 \implies 1\le x^{2}\le 4\).
    • \(\frac{1}{2}\le y\le\frac{3}{2} \implies \frac{1}{4}\le y^{2}\le\frac{9}{4} \implies -\frac{9}{4}\le -y^{2}\le -\frac{1}{4}\).
    En additionnant les encadrements de \(x^2, -y^2, x, y\) :
    \(1 – \frac{9}{4} + 1 + \frac{1}{2} \le E \le 4 – \frac{1}{4} + 2 + \frac{3}{2} \implies \frac{1}{4} \le E \le \frac{29}{4}\).
  2. Deuxième méthode : \(E = (x-y)(x+y)+(x+y) = (x+y)(x-y+1)\).
    On encadre chaque facteur :
    • \(\frac{3}{2} \le x+y \le \frac{7}{2}\).
    • \(-\frac{1}{2} \le x-y \le \frac{3}{2} \implies \frac{1}{2} \le x-y+1 \le \frac{5}{2}\).
    On multiplie les encadrements (termes positifs) : \(\frac{3}{4} \le E \le \frac{35}{4}\).
  3. Conclusion : L’intersection des deux encadrements est \([\frac{3}{4}, \frac{29}{4}]\).
Solution de l’exercice 7
  1. Encadrement direct :
    • \(-\frac{1}{2}\le x\le 1 \implies 2\le 2x+3\le 5\).
    • \(-\frac{1}{2}\le x\le 1 \implies \frac{3}{2}\le x+2\le 3 \implies \frac{1}{3}\le \frac{1}{x+2}\le\frac{2}{3}\).
    On multiplie : \(\frac{2}{3}\le A(x)\le\frac{10}{3}\).
  2. Forme canonique :
    1. \(A(x) = \frac{2(x+2)-1}{x+2} = 2-\frac{1}{x+2}\). Donc \(a=2\) et \(b=-1\).
    2. On a \(\frac{1}{3}\le\frac{1}{x+2}\le\frac{2}{3}\). On multiplie par -1 : \(-\frac{2}{3}\le-\frac{1}{x+2}\le-\frac{1}{3}\). On ajoute 2 : \(\frac{4}{3}\le A(x)\le\frac{5}{3}\).
  3. Le second encadrement \([\frac{4}{3}, \frac{5}{3}]\) est plus fin que le premier \([\frac{2}{3}, \frac{10}{3}]\).
Solution de l’exercice 11
  1. On a \(a=b-2\). Comme \(b\le 5\), alors \(a \le 5-2=3\). On a donc \(2 \le a \le 3\).
    On a \(b=a+2\). Comme \(a\ge 2\), alors \(b \ge 2+2=4\). On a donc \(4 \le b \le 5\).
  2. \(A=\sqrt{(a-3)^{2}}+\sqrt{(b-4)^{2}} = |a-3|+|b-4|\).
    Comme \(a\le 3\), \(|a-3|=3-a\). Comme \(b\ge 4\), \(|b-4|=b-4\).
    Alors, \(A = (3-a) + (b-4) = b-a-1 = 2-1=1\).
  3. \(B=|a+b-6|+|a+b-8|\). On encadre \(a+b\) : \(6 \le a+b \le 8\).
    Comme \(a+b \ge 6\), \(|a+b-6|=a+b-6\). Comme \(a+b \le 8\), \(|a+b-8|=-(a+b-8)=8-a-b\).
    Alors, \(B = (a+b-6) + (8-a-b) = 2\).