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Exercices : Transformations du plan
Chapitre 12
(Utiliser une feuille de papier quadrillé.) Construire un triangle EFG, rectangle en F tel que \(EF=FG=4\) cm.
- Placer le point K image de E par la symétrie de centre F.
- Placer le point L image de F par la symétrie axiale d’axe (EG).
- Placer le point J image de G par la translation de vecteur \(\vec{EF}\).
- Placer le point H tel que \(\vec{HE}=\vec{FG}\).
ABC un triangle et D le symétrique du point A par rapport à B. Et E l’image du point B par la translation \(t_{\vec{AC}}\).
- Faire une figure.
- Montrer que le triangle BDE est l’image du triangle ABC par une translation dont on déterminera son vecteur.
- En déduire que le triangle ABC est l’image du triangle BDE par une translation dont on déterminera son vecteur.
ABCD un losange de centre O et I le milieu du segment \([AB]\) et J le milieu du segment \([AD]\).
- Faite une figure.
- Déterminer \(S_{O}(A)\), \(S_{O}(B)\), \(S_{O}(O)\) et \(S_{O}((AB))\).
- Déterminer \(S_{(AC)}(B)\), \(S_{(AC)}(A)\), \(S_{(AC)}(O)\), \(S_{(AC)}([AB])\), \(S_{(AC)}(I)\) et \(S_{(AC)}((OI))\).
- Déterminer \(t_{\vec{BC}}(A)\), \(t_{\vec{IJ}}(B)\) et \(t_{\vec{IJ}}([OB])\).
Soient trois points fixes A, B et C du plan. Soit E un point du plan tel que: \(\vec{EA}-\vec{EB}+\vec{EC}=\vec{0}\).
- Montrer que E est l’image du point A par la translation de vecteur \(\vec{BC}\).
-
- Faire une figure.
- Représenter le point F, image du point B par la translation de vecteur \(\vec{AC}\). Et Montrer que C est le milieu \([EF]\).
Placer le point M’ image du point M par l’homothétie de centre O et de rapport k :
- \(k=\frac{5}{7}\)
- \(k=\frac{10}{7}\)
- \(k=2\)
- \(k=-1\)
- \(k=-\frac{3}{5}\)
- \(k=-\frac{7}{5}\)
Soit ABCD un quadrilatère. Représenter les images des points A, B, C et D:
- Par l’homothétie h de centre A et de rapport \(k=\frac{2}{3}\).
- Par l’homothétie h’ de centre B et de rapport \(k=-\frac{1}{3}\).
Écrire l’expression vectorielle suivante : \(\vec{IC}=-\frac{2}{3}\vec{IB}\) en utilisant une homothétie.
Déterminer dans les cas suivants le rapport k de l’homothétie h de centre A et qui transforme B en C.
- \(3\vec{AC}+2\vec{AB}=\vec{0}\)
- \(\vec{CA}=-\frac{2}{3}\vec{AB}\)
- \(3\vec{AB}=2\vec{AC}\)
- \(\vec{BC}=-3\vec{AB}\)
On considère deux points A et B et une homothétie h qui transforme A en \(A’\) et laisse invariant le point B de sorte que: \(\vec{A’A}+4\vec{AB}=\vec{0}\). Trouver le rapport k de cette homothétie.
Soit un point fixe A du plan et soit h une transformation du plan qui transforme chaque point M en \(M’\) tel que: \(3\vec{MM’}+2\vec{AM}=\vec{0}\). Montrer que h est une homothétie et trouver le centre et le rapport k de cette homothétie.
Soit deux points A et B du plan et soit f une transformation du plan qui transforme chaque point M en \(M’\) tel que: \(\vec{MM’}=3\vec{MA}+2\vec{MB}\).
- Déterminer le point invariant par la transformation f.
- Déterminer la nature de la transformation f.
Soit ABC un triangle et soient les points E et F tels que : \(\vec{AE}=\frac{2}{5}\vec{AB}\) et \(3\vec{AF}+2\vec{CF}=\vec{0}\). On considère l’homothétie h de centre A et de rapport \(k=\frac{2}{5}\).
- Montrer que: \(h(B)=E\) et \(h(C)=F\).
- Faite une figure.
- Montrer que: \(EF=\frac{2}{5}BC\).
- Montrer que: \((EF)||(BC)\).
ABCD un parallélogramme et I et J deux points tels que : \(\vec{CI}=\frac{2}{3}\vec{CB}\) et \(\vec{IJ}=\vec{DC}\).
- Faite une figure.
- Montrer que la droite \((BJ)\) est l’image de la droite (AI) par la translation \(t_{\vec{AB}}\) et que peut-on en déduire pour les droites (BJ) et (AI) ?
- Soit l’homothétie h de centre I qui transforme le point B en C.
- Montrer que \(h((AB))=(CD)\).
- Montrer que le rapport k de l’homothétie est \(k=-2\).
- Soit le point K tel que: \(\vec{KI}=2\vec{AB}\).
- Montrer que \(h(J)=K\).
- Montrer que : \(AI=\frac{1}{2}CK\).
Soit ABCD un trapèze tel que: \(\vec{DC}=2\vec{AB}\) et tels que les points A et B sont fixes et \(AB=2\). Les points C et D sont variables avec \(AD=3\) et E est un point tel que \(\vec{AE}=2\vec{AB}\).
- Déterminer l’ensemble (E) des points D.
- Déterminer l’ensemble (F) des points C lorsque D varie dans l’ensemble (E).
- Représenter les ensembles (E) et (F).
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Solutions : Transformations du plan
Chapitre 12
- Figure :
- On a D symétrique de A par rapport à B, donc \(\vec{BD}=\vec{AB}\). C’est-à-dire \(t_{\vec{AB}}(B)=D\).
On a E image de B par la translation \(t_{\vec{AC}}\), donc \(\vec{BE}=\vec{AC}\). Ceci implique que ACEB est un parallélogramme, et donc \(\vec{CE}=\vec{AB}\), soit \(t_{\vec{AB}}(C)=E\).
On a aussi \(t_{\vec{AB}}(A)=B\).
Puisque \(t_{\vec{AB}}(A)=B\), \(t_{\vec{AB}}(B)=D\), et \(t_{\vec{AB}}(C)=E\), on conclut que le triangle BDE est l’image du triangle ABC par la translation de vecteur \(\vec{AB}\). - Si \(t_{\vec{AB}}(ABC)=BDE\), alors la transformation inverse est \(t_{-\vec{AB}}(BDE)=ABC\). Le vecteur est \(\vec{BA}\).
- Figure :
- \(S_{O}(A)=C\), \(S_{O}(B)=D\), \(S_{O}(O)=O\). L’image de la droite (AB) est la droite (CD).
- \(S_{(AC)}(B)=D\), \(S_{(AC)}(A)=A\), \(S_{(AC)}(O)=O\), \(S_{(AC)}([AB])=[AD]\), \(S_{(AC)}(I)=J\), \(S_{(AC)}((OI))=(OJ)\).
- ABCD est un losange donc \(\vec{AD}=\vec{BC}\), d’où \(t_{\vec{BC}}(A)=D\).
Dans \(\triangle ABD\), I et J sont les milieux de [AB] et [AD], donc \(\vec{IJ} = \frac{1}{2}\vec{BD} = \vec{BO}\). Donc \(t_{\vec{IJ}}(B)=O\).
\(t_{\vec{IJ}}([OB])\) est le segment \([DO]\) car \(t_{\vec{IJ}}(O)=D\).
On cherche k tel que \(\vec{AC}=k\vec{AB}\).
- \(3\vec{AC}=-2\vec{AB} \implies \vec{AC}=-\frac{2}{3}\vec{AB}\). Donc \(k=-\frac{2}{3}\).
- \(\vec{CA}=-\frac{2}{3}\vec{AB} \implies -\vec{AC}=-\frac{2}{3}\vec{AB} \implies \vec{AC}=\frac{2}{3}\vec{AB}\). Donc \(k=\frac{2}{3}\).
- \(3\vec{AB}=2\vec{AC} \implies \vec{AC}=\frac{3}{2}\vec{AB}\). Donc \(k=\frac{3}{2}\).
- \(\vec{BC}=-3\vec{AB} \implies \vec{BA}+\vec{AC}=-3\vec{AB} \implies \vec{AC}=-3\vec{AB}-\vec{BA}=-2\vec{AB}\). Donc \(k=-2\).
- \(h(B)=E\) car \(\vec{AE}=\frac{2}{5}\vec{AB}\) est la définition de l’homothétie de centre A et de rapport 2/5.
Pour F, on a \(3\vec{AF}+2\vec{CF}=\vec{0} \implies 3\vec{AF}+2(\vec{CA}+\vec{AF})=\vec{0} \implies 5\vec{AF}+2\vec{CA}=\vec{0} \implies 5\vec{AF}=2\vec{AC} \implies \vec{AF}=\frac{2}{5}\vec{AC}\). Donc \(h(C)=F\). - Figure :
- Comme \(h(B)=E\) et \(h(C)=F\), par propriété de l’homothétie, on a \(\vec{EF} = \frac{2}{5}\vec{BC}\).
- En passant aux longueurs, \(EF = |\frac{2}{5}| BC = \frac{2}{5}BC\).
- La relation vectorielle \(\vec{EF} = \frac{2}{5}\vec{BC}\) montre que les vecteurs sont colinéaires, donc les droites (EF) et (BC) sont parallèles.
- L’ensemble (E) des points D est défini par \(AD=3\). C’est le cercle de centre A et de rayon 3.
- On a \(\vec{DC}=2\vec{AB}\). Le vecteur \(2\vec{AB}\) est un vecteur fixe \(\vec{u}\). La relation \(\vec{DC}=\vec{u}\) s’écrit \(\vec{AC} – \vec{AD} = \vec{u}\), mais plus simplement, C est l’image de D par la translation de vecteur \(\vec{u}\). Donc \(C = t_{\vec{u}}(D)\).
Lorsque D parcourt le cercle (E) de centre A et de rayon 3, son image C parcourt l’image du cercle (E) par la translation \(t_{\vec{u}}\). L’image d’un cercle est un cercle de même rayon. Le centre du nouveau cercle (F) est l’image du centre de (E). Le centre de (F) est \(t_{\vec{u}}(A)\). Or, le point E de l’énoncé est défini par \(\vec{AE}=2\vec{AB}=\vec{u}\), ce qui signifie que \(E=t_{\vec{u}}(A)\).
L’ensemble (F) est donc le cercle de centre E et de rayon 3. - Représentation :