Exercices corrigés : Trigonométrie 1 (Règles du calcul trigonométrique) – Tronc commun Science

Exercices : Trigonométrie 1 – Chapitre 9

Qualité Professionnelle à votre portée !

Ces exercices sont disponibles en formats PDF et LaTeX haute résolution. Contactez-nous pour les acheter.

Exercices : Trigonométrie 1 (Règles du calcul trigonométrique)

Chapitre 9

Nom et Prénom : …………………………………………………… Classe : …………
Exercice 1
  1. Donner la mesure en radians de l’angle de mesure \(33^{\circ}\).
  2. Donner la mesure en degrés de l’angle de mesure \(\frac{3\pi}{8}\) rad.
  3. Donner la mesure en radians de l’angle de mesure \(135^{\circ}\).
Exercice 2
  1. Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacune des abscisses suivantes : \(7\pi\), \(\frac{110\pi}{3}\), \(\frac{19\pi}{4}\), \(-\frac{131\pi}{3}\), \(\frac{217\pi}{6}\).
  2. Placer sur le cercle trigonométrique les points \(A(0)\); \(B(\frac{\pi}{2})\); \(C(\frac{\pi}{4})\); \(D(\frac{\pi}{3})\); \(E(\frac{\pi}{6})\); \(M(\frac{7\pi}{2})\); \(F(\frac{5\pi}{6})\); \(G(-\frac{\pi}{2})\); \(H(-\frac{\pi}{4})\); \(N(\frac{3\pi}{2})\); \(I(\frac{2007\pi}{4})\).
Exercice 3

Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacune des points suivants : \(M_{0}(\frac{9\pi}{2})\); \(M_{1}(\frac{11\pi}{3})\); \(M_{2}(\frac{67\pi}{4})\); \(M_{3}(\frac{19\pi}{3})\).

Exercice 4

D’après la figure (Le triangle ACD est rectangle et isocèle en D, le triangle ABC est équilatéral, et le triangle AEB est rectangle et isocèle en E), donner la mesure principale des angles orientés suivants :
\((\vec{AB};\vec{AC})\), \((\vec{AE};\vec{AD})\), \((\vec{BC};\vec{BE})\), \((\vec{CB};\vec{CD})\), \((\vec{EB};\vec{EA})\) et \((\vec{DC};\vec{DA})\).

Exercice 5

Calculer les rapports trigonométriques des nombres réels suivants : \(7\pi\), \(\frac{5\pi}{6}\), \(\frac{7\pi}{6}\), \(\frac{3\pi}{4}\), \(-\frac{4\pi}{3}\).

Exercice 6

Calculer: \(\cos\frac{10\pi}{3}\) ; \(\sin\frac{53\pi}{6}\) ; \(\cos\frac{34\pi}{3}\) ; \(\cos\frac{13\pi}{6}\) ; \(\tan\frac{37\pi}{4}\).

Exercice 7

Montrer que : \(1+(\tan x)^{2}=\frac{1}{(\cos x)^{2}}\).

Exercice 8

On a : \(\tan x=\frac{1}{3}\) et \(\frac{\pi}{2}

Exercice 9

On a : \(\sin x=-\frac{4}{5}\) et \(-\frac{\pi}{2}

Exercice 10
  1. Sachant que : \(\sin x=\frac{\sqrt{2}}{3}\) et \(\frac{\pi}{2}
  2. Sachant que : \(-\pi
  3. Sachant que: \(\cos x > \sin x > 0\) et \(\cos x \cdot \sin x=\frac{\sqrt{2}}{3}\). Calculer: \(\cos x + \sin x\) et \(\cos x – \sin x\). Et en déduire \(\cos x\) et \(\sin x\).
Exercice 11

Simplifier les expressions suivantes :
\(A=\sin(\pi-x)\times \cos(\frac{\pi}{2}-x)-\sin(\frac{\pi}{2}-x)\times \cos(\pi-x)\)
\(B=\frac{\sin x+\sin(\pi-x)}{\cos(\pi-x)}\)
\(C=\cos(\frac{5\pi}{6})+\sin(\frac{5\pi}{6})-\tan(\frac{5\pi}{6})\)
\(D=\sin(11\pi-x)+\cos(5\pi+x)+\cos(14\pi-x)\)
\(E=\tan(\pi-x)+\tan(\pi+x)\)
\(F=\cos^{2}(\frac{\pi}{5})+\sin^{2}(\frac{3\pi}{10})\)
\(G=\cos(\frac{\pi}{7})+\cos(\frac{2\pi}{7})+\cos(\frac{3\pi}{7})+\cos(\frac{4\pi}{7})+\cos(\frac{5\pi}{7})+\cos(\frac{6\pi}{7})\)
\(H=\sin^{2}(\frac{\pi}{8})+\sin^{2}(\frac{3\pi}{8})+\sin^{2}(\frac{5\pi}{8})+\sin^{2}(\frac{7\pi}{8})\)

Exercice 12

Simplifier les expressions suivantes :

  1. \(A=\cos\frac{\pi}{5}+\sin\frac{\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}-2\sin\frac{4\pi}{5}+\cos\frac{3\pi}{10}\)
  2. \(B=\cos^{2}\frac{\pi}{8}+\cos^{2}\frac{3\pi}{8}+\cos^{2}\frac{7\pi}{8}+\cos^{2}\frac{5\pi}{8}\)
  3. \(C=\sin^{2}\frac{\pi}{12}+\sin^{2}\frac{3\pi}{12}+\sin^{2}\frac{5\pi}{12}+\sin^{2}\frac{7\pi}{12}+\sin^{2}\frac{9\pi}{12}+\sin^{2}\frac{11\pi}{12}\)
Solutions : Trigonométrie 1 – Chapitre 9

Qualité Professionnelle à votre portée !

Ces exercices sont disponibles en formats PDF et LaTeX haute résolution. Contactez-nous pour les acheter.

Solutions : Trigonométrie 1

Chapitre 9

Solution de l’exercice 1
Conversion Degrés \(\leftrightarrow\) Radians

Pour convertir de degrés en radians, on multiplie par \(\frac{\pi}{180}\). Pour convertir de radians en degrés, on multiplie par \(\frac{180}{\pi}\).

  1. \(33^{\circ} = 33 \times \frac{\pi}{180} \text{ rad} = \frac{11\pi}{60}\) rad.
  2. \(\frac{3\pi}{8} \text{ rad} = \frac{3\pi}{8} \times \frac{180}{\pi} \text{ deg} = 67.5^{\circ}\).
  3. \(135^{\circ} = 135 \times \frac{\pi}{180} \text{ rad} = \frac{3\pi}{4}\) rad.
Solution de l’exercice 2
  1. Abscisses curvilignes principales :
    • \(7\pi = \pi + 6\pi \implies \alpha = \pi\).
    • \(\frac{110\pi}{3} = 36\pi + \frac{2\pi}{3} \implies \alpha = \frac{2\pi}{3}\).
    • \(\frac{19\pi}{4} = 4\pi + \frac{3\pi}{4} \implies \alpha = \frac{3\pi}{4}\).
    • \(-\frac{131\pi}{3} = -44\pi + \frac{\pi}{3} \implies \alpha = \frac{\pi}{3}\).
    • \(\frac{217\pi}{6} = 36\pi + \frac{\pi}{6} \implies \alpha = \frac{\pi}{6}\).
  2. Placement des points sur le cercle trigonométrique :
    A B C D E F G,M,N H,I
Solution de l’exercice 4
ABC D E
  • \((\vec{AB};\vec{AC}) \equiv \frac{\pi}{3} [2\pi]\) (triangle équilatéral ABC).
  • \((\vec{AE};\vec{AD}) = (\vec{AE};\vec{AB}) + (\vec{AB};\vec{AC}) + (\vec{AC};\vec{AD}) \equiv \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} [2\pi]\).
  • \((\vec{CB};\vec{CD}) \equiv -\frac{\pi}{2} [2\pi]\) (triangle ACD rectangle isocèle en D, sens indirect).
  • \((\vec{EB};\vec{EA}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]\) (triangle AEB rectangle isocèle en E, sens direct).
  • \((\vec{DC};\vec{DA}) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]\).
Solution de l’exercice 5
  • \(7\pi \equiv \pi [2\pi]\). \(\cos(7\pi) = -1\), \(\sin(7\pi) = 0\), \(\tan(7\pi) = 0\).
  • \(\frac{5\pi}{6} = \pi – \frac{\pi}{6}\). \(\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2}\), \(\tan(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}\).
  • \(\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}\). \(\cos(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{1}{2}\), \(\tan(\frac{7\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}\).
  • \(\frac{3\pi}{4} = \pi – \frac{\pi}{4}\). \(\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\tan(\frac{3\pi}{4}) = -1\).
  • \(-\frac{4\pi}{3} \equiv \frac{2\pi}{3}\). \(\cos(-\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2}\), \(\sin(-\frac{4\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\tan(-\frac{4\pi}{3}) = -\sqrt{3}\).
Solution de l’exercice 11

\(A = \sin(\pi-x)\cos(\frac{\pi}{2}-x) – \sin(\frac{\pi}{2}-x)\cos(\pi-x) = (\sin x)(\sin x) – (\cos x)(-\cos x) = \sin^2 x + \cos^2 x = 1\).

\(B = \frac{\sin x + \sin x}{-\cos x} = -2\tan x\).

\(C = \cos(\frac{5\pi}{6})+\sin(\frac{5\pi}{6})-\tan(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}-(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3-\sqrt{3}}{6}\).

\(D = \sin(\pi-x)+\cos(\pi+x)+\cos(-x) = \sin x – \cos x + \cos x = \sin x\).

\(E = \tan(\pi-x)+\tan(\pi+x) = -\tan x + \tan x = 0\).

\(F = \cos^{2}(\frac{\pi}{5})+\sin^{2}(\frac{3\pi}{10}) = \cos^{2}(\frac{\pi}{5})+\sin^{2}(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}) = \cos^{2}(\frac{\pi}{5})+\cos^{2}(\frac{\pi}{5})\). (Note: La simplification s’arrête là sans connaître la valeur de \(\cos(\pi/5)\)).

\(G = \cos(\frac{\pi}{7})+\cos(\frac{2\pi}{7})+\cos(\frac{3\pi}{7})+\cos(\pi-\frac{3\pi}{7})+\cos(\pi-\frac{2\pi}{7})+\cos(\pi-\frac{\pi}{7}) = \cos(\frac{\pi}{7})+\cos(\frac{2\pi}{7})+\cos(\frac{3\pi}{7})-\cos(\frac{3\pi}{7})-\cos(\frac{2\pi}{7})-\cos(\frac{\pi}{7}) = 0\).

\(H = \sin^{2}(\frac{\pi}{8})+\sin^{2}(\frac{3\pi}{8})+\sin^{2}(\frac{5\pi}{8})+\sin^{2}(\frac{7\pi}{8})\). On utilise \(\sin(\pi-x)=\sin x\) et \(\sin(\pi/2-x)=\cos x\).
\(H = \sin^{2}(\frac{\pi}{8})+\sin^{2}(\frac{3\pi}{8})+\sin^{2}(\pi-\frac{3\pi}{8})+\sin^{2}(\pi-\frac{\pi}{8}) = 2(\sin^{2}(\frac{\pi}{8})+\sin^{2}(\frac{3\pi}{8})) = 2(\sin^{2}(\frac{\pi}{8})+\cos^{2}(\frac{\pi}{8}))=2\).