Exercices corrigés : Trigonométrie 2 (Équations et inéquations) – Tronc commun Science

Exercices : Trigonométrie 2 – Chapitre 10

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Exercices : Trigonométrie 2 (Équations et inéquations)

Chapitre 10

Nom et Prénom : …………………………………………………… Classe : …………
Exercice 1

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

  1. \(\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
  2. \(\cos x=-\frac{1}{2}\)
  3. \(\cos^{2}x=\frac{1}{2}\)
Exercice 2

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes:

  1. \(\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
  2. \(\sin x=-\frac{1}{2}\)
  3. \(\sin^{2}x=\frac{1}{2}\)
Exercice 3

Résoudre dans \(]-\pi,\pi]\) l’équation: \(\cos 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Exercice 4
  1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation suivante : \(4\tan x+4=0\).
  2. Résoudre dans \([-\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}]\) l’équation suivante : \(2\sqrt{2}\sin x+2=0\).
Exercice 5
  1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation suivante : \(\cos 2x=\cos(x-\frac{\pi}{3})\).
  2. Résoudre dans \([0;\pi]\) l’équation suivante : \(\sin(2x-\frac{\pi}{3})=\sin(\frac{\pi}{4}-x)\).
  3. Résoudre dans \(]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}[\) l’équation suivante : \(\tan(2x-\frac{\pi}{5})=1\).
Exercice 6

Résoudre dans \([0,2\pi[\) l’inéquation suivante : \(\sin x \ge \frac{1}{2}\).

Exercice 7

Résoudre dans \([-\pi,\pi]\) l’inéquation suivante: \(\sin x \le -\frac{1}{2}\).

Exercice 8

Résoudre dans \([-\pi,\pi]\) l’inéquation suivante : \(\cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Exercice 9

Résoudre dans \([-\frac{\pi}{2},\pi]\) l’inéquation suivante: \(\cos x \le \frac{1}{2}\).

Exercice 10

Résoudre dans \(]-\pi,\pi]\) les inéquations suivantes:

  1. \(\cos x \le 0\)
  2. \(\sin x \ge 0\)
Exercice 11

Résoudre dans \(]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\) l’inéquation suivante: \(\tan x \ge 1\).

Exercice 12

Résoudre dans \([0;2\pi]\) l’inéquation suivante: \(\sin x > -\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Exercice 13

Résoudre dans \([-\pi;\pi]\) l’inéquation suivante : \(3\tan x-\sqrt{3} \ge 0\).

Exercice 14

Résoudre dans \([0;2\pi]\) l’inéquation suivante: \(\tan x-1 \ge 0\).

Exercice 15
    1. Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation suivante: \(2\sin^{2}x-9\sin x-5=0\) et en déduire les solutions dans \([0;2\pi]\).
    2. Résoudre dans \([0;2\pi]\) l’inéquation suivante : \(2\sin^{2}x-9\sin x-5\le0\).
  2. Résoudre dans \([0;\pi]\) l’inéquation suivante : \((2\cos x-1)(\tan x+1)\ge0\).
Exercice 16
  1. Résoudre dans \([0,2\pi]\) les équations :
    1. \(\cos x=\frac{1}{2}\)
    2. \(\cos x=-1\)
  2. Montrer que pour tout élément x de \([0,2\pi]\) on a : \(2\cos^{2}(x)+\cos(x)-1=(2\cos(x)-1)(\cos(x)+1)\)
  3. Résoudre dans \([0,2\pi]\) l’équation : \(2\cos^{2}(x)+\cos(x)-1=0\)
  4. Étudier le signe de: \(2\cos^{2}(x)+\cos(x)-1\)
  5. En déduire dans \([0,2\pi]\) l’ensemble de solutions de l’inéquation : \(2\cos^{2}(x)+\cos(x)-1\ge0\)
Exercice 17

On pose \(f(x)=2\sin^{2}(x)-\sin(x)-1\), pour tout x de \(\mathbb{R}\).

  1. Calculer \(f(\frac{2019\pi}{6})\)
  2. Montrer que \(f(\pi-x)=f(x)\)
  3. Résoudre dans \(I=[0,2\pi[\):
    1. \(f(x)=0\)
    2. \(f(x)>0\)
Exercice 18

Soit x un nombre réel vérifiant l’égalité : (1): \(\sin(x)\times \cos(x)=\frac{1}{2}\)

  1. Démontrer que \(\sin x=\cos x\)
  2. Déterminer toutes les valeurs de x vérifiant (1).
Exercice 19

Établir les égalités suivantes :

  1. \(\cos^{4}(x)-\sin^{4}(x)=2\cos^{2}(x)-1\)
  2. \(\cos^{6}(x)+\sin^{6}(x)+3\sin^{2}(x)\cos^{2}(x)=1\)
Exercice 20

Exprimer en fonction de \(\tan(x)\) :

  1. \(A(x)=\frac{\sin^{3}(x)-\cos^{3}(x)}{\sin(x)+\cos(x)}\)
  2. \(B(x)=\cos^{2}(x)-5\sin(x)\cos(x)\)
Solutions : Trigonométrie 2 – Chapitre 10

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Solutions : Trigonométrie 2

Chapitre 10

Solution de l’exercice 1
  1. \(\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos(\frac{\pi}{4})\).
    \(S_{\mathbb{R}} = \{\frac{\pi}{4} + 2k\pi, -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}\).
  2. \(\cos x = -\frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos(\frac{2\pi}{3})\).
    \(S_{\mathbb{R}} = \{\frac{2\pi}{3} + 2k\pi, -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}\).
  3. \(\cos^2 x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) ou \(\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).
    Cela correspond à \(x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}\).
    \(S_{\mathbb{R}} = \{\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \mid k \in \mathbb{Z}\}\).
Solution de l’exercice 2
  1. \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin(\frac{\pi}{3})\).
    \(S_{\mathbb{R}} = \{\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}\).
  2. \(\sin x = -\frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin(-\frac{\pi}{6})\).
    \(S_{\mathbb{R}} = \{-\frac{\pi}{6} + 2k\pi, \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\}\).
  3. \(\sin^2 x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) ou \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).
    Cela correspond à \(x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}\).
    \(S_{\mathbb{R}} = \{\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \mid k \in \mathbb{Z}\}\).
Solution de l’exercice 3

On résout \(\cos 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) dans \(]-\pi, \pi]\).
\(\cos 2x = \cos(\frac{\pi}{6})\). Donc \(2x = \pm\frac{\pi}{6} + 2k\pi\), soit \(x = \pm\frac{\pi}{12} + k\pi\).
On cherche les solutions dans \(]-\pi, \pi]\) :
Pour \(k=0\): \(x=\frac{\pi}{12}\) et \(x=-\frac{\pi}{12}\).
Pour \(k=1\): \(x=\frac{13\pi}{12}\) (hors intervalle) et \(x=\frac{11\pi}{12}\).
Pour \(k=-1\): \(x=-\frac{11\pi}{12}\) et \(x=-\frac{13\pi}{12}\) (hors intervalle).
\(S = \{-\frac{11\pi}{12}, -\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}\}\).

Solution de l’exercice 6

On résout \(\sin x \ge \frac{1}{2}\) dans \([0, 2\pi[\). Sur le cercle trigonométrique, les points dont l’ordonnée est \(\ge 1/2\) sont sur l’arc supérieur entre \(\frac{\pi}{6}\) et \(\frac{5\pi}{6}\).
\(S = [\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]\).

\(\frac{\pi}{6}\) \(\frac{5\pi}{6}\)
Solution de l’exercice 7

On résout \(\sin x \le -\frac{1}{2}\) dans \([-\pi, \pi]\). Cela correspond à l’arc inférieur allant de \(\pi-(-\frac{\pi}{6})=\frac{7\pi}{6} \equiv -\frac{5\pi}{6}\) à \(-\frac{\pi}{6}\).
\(S = [-\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}]\).

\(-\frac{5\pi}{6}\) \(-\frac{\pi}{6}\)
Solution de l’exercice 15
    1. On pose \(t=\sin x\). L’équation devient \(2t^2-9t-5=0\). \(\Delta = 121=11^2\). Les racines sont \(t_1 = -\frac{1}{2}\) et \(t_2=5\).
      \(\sin x = 5\) est impossible. \(\sin x = -\frac{1}{2}\) donne dans \([0;2\pi]\) les solutions \(x=\frac{7\pi}{6}\) et \(x=\frac{11\pi}{6}\).
    2. On résout \(2\sin^2 x – 9\sin x – 5 \le 0\). Le trinôme en \(t=\sin x\) est négatif entre ses racines, soit pour \(t \in [-\frac{1}{2}, 5]\). La condition devient donc \(-\frac{1}{2} \le \sin x \le 1\). Dans \([0;2\pi]\), cela correspond à \(S = [0, \frac{7\pi}{6}] \cup [\frac{11\pi}{6}, 2\pi]\).
  2. On résout \((2\cos x-1)(\tan x+1)\ge0\) dans \([0;\pi]\). Le domaine de définition est \([0, \pi] \setminus \{\frac{\pi}{2}\}\).
    On fait un tableau de signes :
    • \(2\cos x – 1 > 0 \iff \cos x > 1/2 \iff x \in [0, \pi/3[\)
    • \(\tan x + 1 > 0 \iff \tan x > -1 \iff x \in [0, \pi/2[ \cup ]3\pi/4, \pi]\)
    Le produit est positif sur \([0, \pi/3] \cup ]\pi/2, 3\pi/4]\).
Solution de l’exercice 19
  1. \(\cos^{4}(x)-\sin^{4}(x) = (\cos^{2}x-\sin^{2}x)(\cos^{2}x+\sin^{2}x) = (\cos^{2}x-\sin^{2}x)(1)\).
    En utilisant \(\sin^2 x = 1 – \cos^2 x\), on a : \(\cos^{2}x – (1 – \cos^{2}x) = 2\cos^{2}x-1\).
  2. On utilise l’identité \((a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)\).
    Soit \(a=\cos^2 x\) et \(b=\sin^2 x\). On a \(a+b=1\).
    \((\cos^2 x + \sin^2 x)^3 = \cos^6 x + \sin^6 x + 3\cos^2 x \sin^2 x (\cos^2 x + \sin^2 x)\).
    \(1^3 = \cos^6 x + \sin^6 x + 3\cos^2 x \sin^2 x (1)\). D’où le résultat.