Une fonction définie sur un intervalle $I$ est dite continue sur I si elle est continue en tout point de cet intervalle.
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Pour tous points $a, b$ de $I$, et pour tout réel $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c) = \lambda$.
Démonstration
Supposons $f(a) < f(b)$ et soit $\lambda \in [f(a), f(b)]$. Considérons l'ensemble $X = \{x \in [a,b] \mid f(x) \le \lambda\}$. Cet ensemble est non vide (car $a \in X$) et majoré (par $b$). Il admet donc une borne supérieure $c = \sup(X)$. Par la caractérisation de la borne supérieure, il existe une suite $(x_n)$ d'éléments de $X$ qui converge vers $c$. Comme $f$ est continue, la suite $(f(x_n))$ converge vers $f(c)$. Puisque $f(x_n) \le \lambda$ pour tout $n$, on a à la limite $f(c) \le \lambda$. De même, on peut construire une suite $(y_n)$ tendant vers $c$ par valeurs supérieures, telle que $f(y_n) > \lambda$, ce qui donne à la limite $f(c) \ge \lambda$. On conclut que $f(c) = \lambda$.
L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$. Si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires (c’est-à-dire $f(a)f(b) < 0$), alors il existe au moins un réel $c \in ]a,b[$ tel que $f(c)=0$.
Toute fonction continue sur un segment $[a,b]$ est bornée et atteint ses bornes. Autrement dit, il existe des réels $x_0, x_1 \in [a,b]$ tels que : $$ f(x_0) = \min_{x \in [a,b]} f(x) \quad \text{et} \quad f(x_1) = \max_{x \in [a,b]} f(x) $$ En conséquence, l’image d’un segment $[a,b]$ par une fonction continue est un segment $[m, M]$.
Démonstration (pour le caractère borné)
On raisonne par l’absurde. Si $f$ n’est pas bornée sur $[a,b]$, alors pour tout entier $n \in \mathbb{N}$, on peut trouver un $u_n \in [a,b]$ tel que $|f(u_n)| \ge n$. La suite $(u_n)$ est une suite bornée dans $\mathbb{R}$. D’après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une sous-suite $(u_{\varphi(n)})$ qui converge vers une limite $\lambda \in [a,b]$. Comme $f$ est continue en $\lambda$, la suite $(f(u_{\varphi(n)}))$ doit converger vers $f(\lambda)$. Or, par construction, $|f(u_{\varphi(n)})| \ge \varphi(n) \ge n$, ce qui implique que cette suite tend vers l’infini. C’est une contradiction.
Soit $f$ une fonction continue d’un segment $[a,b]$ dans lui-même (c’est-à-dire $f([a,b]) \subseteq [a,b]$). Alors, il existe au moins un point $x_0 \in [a,b]$ tel que $f(x_0) = x_0$. Un tel point est appelé un point fixe de $f$.
Démonstration
Considérons la fonction auxiliaire $g(x) = f(x) – x$. Cette fonction est continue sur $[a,b]$. Par hypothèse, $f(a) \in [a,b]$, donc $f(a) \ge a$, ce qui signifie $g(a) = f(a) – a \ge 0$. De même, $f(b) \in [a,b]$, donc $f(b) \le b$, ce qui signifie $g(b) = f(b) – b \le 0$.
Le nombre 0 est donc une valeur intermédiaire entre $g(a)$ et $g(b)$. D’après le TVI, il existe un $x_0 \in [a,b]$ tel que $g(x_0)=0$, c’est-à-dire $f(x_0)=x_0$.