Définition : Fonctions Convexes et Concaves
Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ est dite :
- Convexe si pour tous $x_0, x_1 \in I$ et pour tout $\lambda \in [0,1]$, on a : $$ f(\lambda x_0 + (1-\lambda)x_1) \le \lambda f(x_0) + (1-\lambda)f(x_1) $$
- Concave si pour tous $x_0, x_1 \in I$ et pour tout $\lambda \in [0,1]$, on a : $$ f(\lambda x_0 + (1-\lambda)x_1) \ge \lambda f(x_0) + (1-\lambda)f(x_1) $$
Si les inégalités sont strictes (pour $\lambda \in ]0,1[$), on dit que la fonction est strictement convexe (resp. concave).
Interprétation Géométrique
L’expression $\lambda x_0 + (1-\lambda)x_1$ décrit un point quelconque du segment $[x_0, x_1]$. L’expression $\lambda f(x_0) + (1-\lambda)f(x_1)$ décrit l’ordonnée du point de même abscisse situé sur la corde reliant les points $(x_0, f(x_0))$ et $(x_1, f(x_1))$ de la courbe.
- Une fonction est convexe si sa courbe représentative (l’arc) est située en dessous de la corde joignant deux quelconques de ses points.
- Une fonction est concave si sa courbe représentative (l’arc) est située au-dessus de la corde joignant deux quelconques de ses points.
Proposition : Caractérisation par la Dérivée Seconde
Soit $f$ une fonction continue et deux fois dérivable sur un intervalle ouvert $I$. Alors :
- $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f »(x) \ge 0$ pour tout $x \in I$.
- $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f »(x) \le 0$ pour tout $x \in I$.