Définition : Fonctions Hyperboliques
Les fonctions hyperboliques sont définies à partir de la fonction exponentielle :
- Cosinus hyperbolique : noté $\cosh$ ou $ch$, défini sur $\mathbb{R}$ par : $$ \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} $$
- Sinus hyperbolique : noté $\sinh$ ou $sh$, défini sur $\mathbb{R}$ par : $$ \sinh x = \frac{e^x – e^{-x}}{2} $$
- Tangente hyperbolique : notée $\tanh$ ou $th$, définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} $$
- Cotangente hyperbolique : notée $\coth$, définie sur $\mathbb{R}^*$ par : $$ \coth x = \frac{1}{\tanh x} = \frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1} $$
Propriétés des Fonctions Hyperboliques
- La fonction $\cosh$ est paire, continue, dérivable sur $\mathbb{R}$ et strictement croissante sur $[0, +\infty[$.
- La fonction $\sinh$ est impaire, continue, dérivable et strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
- La fonction $\tanh$ est impaire, continue, dérivable et strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
- La fonction $\coth$ est impaire, continue, dérivable sur $\mathbb{R}^*$ et strictement décroissante sur $]0, +\infty[$.
On a les formules fondamentales suivantes :
- $\cosh^2 x – \sinh^2 x = 1$
- $\cosh(a+b) = \cosh a \cosh b + \sinh a \sinh b$
- $\sinh(a+b) = \sinh a \cosh b + \cosh a \sinh b$
Les dérivées sont :
- $(\cosh x)’ = \sinh x$
- $(\sinh x)’ = \cosh x$
- $(\tanh x)’ = 1 – \tanh^2 x$
- $(\coth x)’ = 1 – \coth^2 x$
Les limites aux bornes sont :
- $\lim_{x \to +\infty} \cosh x = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} \cosh x = +\infty$
- $\lim_{x \to +\infty} \sinh x = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} \sinh x = -\infty$
- $\lim_{x \to +\infty} \tanh x = 1$, $\lim_{x \to -\infty} \tanh x = -1$
- $\lim_{x \to +\infty} \coth x = 1$, $\lim_{x \to -\infty} \coth x = -1$, $\lim_{x \to 0^+} \coth x = +\infty$, $\lim_{x \to 0^-} \coth x = -\infty$