Rappels : Injection, Surjection, Bijection
Soit $f: E \to F$ une fonction entre deux parties de $\mathbb{R}$.
- $f$ est injective si tout élément de l’ensemble d’arrivée $F$ a au plus un antécédent dans $E$. Formellement : $$ \forall x, x’ \in E, \quad f(x) = f(x’) \implies x = x’ $$
- $f$ est surjective si tout élément de l’ensemble d’arrivée $F$ a au moins un antécédent dans $E$. Formellement : $$ \forall y \in F, \exists x \in E \text{ tel que } y = f(x) $$
- $f$ est bijective si elle est à la fois injective et surjective. Cela signifie que tout élément de $F$ a exactement un unique antécédent dans $E$.
Proposition : Fonction Réciproque
Si une fonction $f: E \to F$ est bijective, alors il existe une unique application $g: F \to E$ telle que $g \circ f = id_E$ et $f \circ g = id_F$.
Cette fonction $g$ est appelée la bijection réciproque de $f$ et se note $f^{-1}$.
Remarque
Dans un repère orthonormé, les graphes des fonctions $f$ et $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice (la droite d’équation $y=x$).