Soit $E$ un K-espace vectoriel.
- Pour toute partie non vide $A$ de $E$, l’orthogonal de $A$, noté $A^\perp$, est le sous-ensemble de l’espace dual $E^*$ des formes linéaires qui s’annulent sur tous les éléments de $A$ : $$ \forall \varphi \in E^*, \quad \varphi \in A^\perp \iff \forall x \in A, \langle x, \varphi \rangle = 0 $$
- Pour toute partie non vide $B$ de $E^*$, le pré-orthogonal de $B$, noté $B^\circ$, est le sous-ensemble de $E$ des vecteurs sur lesquels toutes les formes linéaires de $B$ s’annulent : $$ \forall x \in E, \quad x \in B^\circ \iff \forall \varphi \in B, \langle x, \varphi \rangle = 0 $$
Soit $E$ un K-espace vectoriel.
- a) Pour toutes parties $A \subseteq B \subseteq E$, on a $B^\perp \subseteq A^\perp$.
- b) Pour toute partie $A$ de $E$, $A^\perp$ est un sous-espace vectoriel de $E^*$.
- c) Pour toute partie $A$ de $E$, $A^\perp = (Vect(A))^\perp$.
- d) Pour toute partie $B$ de $E^*$, $B^\circ$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
- e) Pour toute partie $B$ de $E^*$, $B^\circ = (Vect(B))^\circ$.
- f) $E^\perp = \{0_{E^*}\}$ et $(E^*)^\circ = \{0_E\}$.
Démonstration
a) C’est une conséquence directe de la définition.
b) $A^\perp$ est l’intersection des noyaux des formes linéaires $\hat{x}: E^* \to K$ (où $\hat{x}(\varphi) = \varphi(x)$) pour tous les $x \in A$. Une intersection de sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel.
c) L’inclusion $(Vect(A))^\perp \subseteq A^\perp$ découle de $A \subseteq Vect(A)$. Réciproquement, si une forme linéaire s’annule sur $A$, elle s’annule par linéarité sur toute combinaison linéaire d’éléments de $A$, donc sur $Vect(A)$.
d) $B^\circ$ est l’intersection des noyaux des formes linéaires $\varphi \in B$. C’est donc un sous-espace vectoriel de $E$.
e) La preuve est analogue à celle de c).
f) Si $\varphi \in E^\perp$, alors $\varphi(x)=0$ pour tout $x \in E$, donc $\varphi$ est la forme linéaire nulle. Si $x \in (E^*)^\circ$, alors $\varphi(x)=0$ pour toute forme linéaire $\varphi \in E^*$. Si $x$ était non nul, on pourrait construire (d’après le corollaire du théorème de prolongement) une forme linéaire $\varphi$ telle que $\varphi(x)=1$, ce qui est une contradiction. Donc $x$ doit être nul.
Soit $E$ un K-espace vectoriel et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Alors :
- Le dual de $F$, $F^*$, est canoniquement isomorphe à l’espace quotient $E^*/F^\perp$.
- Le dual de l’espace quotient, $(E/F)^*$, est canoniquement isomorphe à l’orthogonal $F^\perp$.
Démonstration
i) Considérons l’application de restriction $\Phi: E^* \to F^*$ qui à une forme linéaire $\varphi$ sur $E$ associe sa restriction à $F$. Cette application est linéaire. D’après le théorème de prolongement, elle est surjective. Son noyau est l’ensemble des formes linéaires sur $E$ qui sont nulles sur $F$, ce qui est précisément la définition de $F^\perp$. Par le théorème de décomposition canonique, on a l’isomorphisme $E^*/Ker(\Phi) \cong Im(\Phi)$, soit $E^*/F^\perp \cong F^*$.
ii) Soit $s: E \to E/F$ la surjection canonique. Considérons l’application $\Psi: (E/F)^* \to E^*$ définie par $\Psi(\varphi) = \varphi \circ s$. $\Psi$ est linéaire et injective. Montrons que son image est $F^\perp$. Si $\psi \in Im(\Psi)$, alors $\psi = \varphi \circ s$. Pour tout $x \in F$, $s(x)=0$, donc $\psi(x)=\varphi(0)=0$. Ainsi $\psi \in F^\perp$. Réciproquement, si $\psi \in F^\perp$, elle s’annule sur $F$, et on peut montrer qu’elle se factorise à travers le quotient, c’est-à-dire qu’il existe $\varphi \in (E/F)^*$ telle que $\psi = \varphi \circ s$. Donc $Im(\Psi)=F^\perp$.