Formes Quadratiques Définies Positives : Les Critères à Connaître
Une forme quadratique $q$ est dite définie positive si elle prend une valeur strictement positive pour tout vecteur non nul. C’est la condition la plus forte de positivité et elle est essentielle pour définir une norme et une géométrie euclidienne. Plusieurs critères permettent de la vérifier.
Une forme quadratique $q$ sur un espace vectoriel réel $E$ est définie positive si, pour tout vecteur $u \in E$ :
$q(u) \ge 0$, et $q(u) = 0 \iff u = 0_E$
Cela signifie qu’elle est toujours positive, et qu’elle ne s’annule que pour le vecteur nul.
- Critère 1 : La décomposition de Gauss.
On décompose $q$ en une somme de carrés. $q$ est définie positive si et seulement si sa décomposition de Gauss n’a que des coefficients strictement positifs et que le nombre de carrés est égal à la dimension de l’espace. - Critère 2 : Les valeurs propres.
Soit $A$ la matrice de $q$ dans une base. $q$ est définie positive si et seulement si toutes les valeurs propres de $A$ sont strictement positives. - Critère 3 : Le critère de Sylvester.
Soit $A$ la matrice de $q$. $q$ est définie positive si et seulement si tous les mineurs principaux dominants de $A$ sont strictement positifs. (Le mineur principal de taille $k$ est le déterminant de la sous-matrice $k \times k$ en haut à gauche).
Exemple 1 : Une forme sur $\mathbb{R}^2$
Soit $q(x,y) = 2x^2 – 2xy + y^2$.
Avec Gauss : $q(x,y) = 2(x^2-xy) + y^2 = 2[(x-\frac{1}{2}y)^2 – \frac{1}{4}y^2] + y^2 = 2(x-\frac{1}{2}y)^2 + \frac{1}{2}y^2$.
Les coefficients $2$ et $\frac{1}{2}$ sont strictement positifs. La forme est définie positive.
Avec Sylvester : La matrice de $q$ est $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$.
– Mineur de taille 1 : $\det(2) = 2 > 0$.
– Mineur de taille 2 : $\det(A) = 2 \cdot 1 – (-1)(-1) = 1 > 0$.
Les deux mineurs sont strictement positifs. La forme est définie positive.
Exemple 2 : Une forme sur $\mathbb{R}^3$
Soit $q(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + 2xy + 2xz$. La matrice est $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$.
Le calcul des valeurs propres ou la réduction de Gauss seraient longs. Utilisons Sylvester.
– $\Delta_1 = \det(1) = 1 > 0$.
– $\Delta_2 = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 2 – 1 = 1 > 0$.
– $\Delta_3 = \det(A) = 1(6-0) – 1(3-0) + 1(0-2) = 6 – 3 – 2 = 1 > 0$.
Tous les mineurs principaux dominants sont strictement positifs.
Conclusion : La forme quadratique est définie positive.
Exemple 3 : Contre-exemple (forme positive mais pas définie)
Soit $q(x,y) = x^2 + 2xy + y^2$.
Avec Gauss : $q(x,y) = (x+y)^2$. Le coefficient (1) est positif, mais on n’a qu’un seul carré pour un espace de dimension 2. La forme n’est pas définie positive.
Avec Sylvester : La matrice est $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.
– Mineur de taille 1 : $\det(1) = 1 > 0$.
– Mineur de taille 2 : $\det(A) = 1-1=0$.
Le deuxième mineur n’est pas strictement positif. La forme n’est pas définie positive.
En effet, $q(u)=0$ pour tout vecteur non nul sur la droite $x+y=0$ (par exemple $u=(1,-1)$).