Définition et propriétés élémentaires
Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel. Une application $q: E \to \mathbb{C}$ est une forme quadratique hermitienne sur $E$ s’il existe une forme sesquilinéaire $f$ sur $E$ telle que : $$ \forall x \in E, \quad q(x) = f(x,x) $$
Soit $q$ une forme quadratique hermitienne sur un $\mathbb{C}$-espace vectoriel $E$. Il existe une unique forme hermitienne $f$ sur $E$ telle que $q(x) = f(x,x)$ pour tout $x \in E$.
Cette forme $f$, appelée la forme polaire associée à $q$, est donnée par l’identité de polarisation : $$ \forall x,y \in E, \quad f(x,y) = \frac{1}{4} (q(x+y) – q(x-y) + iq(x-iy) – iq(x+iy)) $$
Démonstration
L’existence d’une forme hermitienne associée se montre de manière similaire au cas bilinéaire. Pour l’unicité, on suppose que $f$ est une forme hermitienne telle que $q(x)=f(x,x)$. En développant $q(x+y)$, $q(x-y)$, $q(x-iy)$ et $q(x+iy)$ et en les combinant, on retrouve l’identité de polarisation, ce qui prouve que $f$ est entièrement déterminée par $q$.
Méthode de Gauss pour la réduction d’une forme quadratique hermitienne
Soit $q$ une forme quadratique hermitienne sur un $\mathbb{C}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$. Il existe $r$ formes linéaires $\mathbb{C}$-linéaires $(\varphi_1, \dots, \varphi_r)$ qui sont linéairement indépendantes, et $r$ scalaires réels non nuls $(\alpha_1, \dots, \alpha_r)$, tels que pour tout $x \in E$ : $$ q(x) = \sum_{i=1}^r \alpha_i |\varphi_i(x)|^2 $$ L’entier $r$ est le rang de la forme $q$.
Déroulement de l’Algorithme
L’algorithme est très similaire à celui des formes quadratiques réelles. Soit $q(x) = \sum a_{ii}|x_i|^2 + 2 \sum_{i
Supposons $a_{11} \neq 0$. On regroupe tous les termes contenant $x_1$ ou $\overline{x_1}$ et on complète le carré du module :
$$ q(x) = a_{11} \left| x_1 + \sum_{j=2}^n \frac{a_{1j}}{a_{11}}x_j \right|^2 + q'(x_2, \dots, x_n) $$
On applique ensuite l’algorithme à la forme quadratique hermitienne restante $q’$.
Si $q$ n’est pas nulle, il existe un terme $a_{ij} \neq 0$ avec $i \neq j$. Supposons $a_{12} \neq 0$. On effectue le changement de variables $x_1 = y_1+y_2$ et $x_2 = i(y_1-y_2)$. Cela fait apparaître des termes en $|y_1|^2$ et $|y_2|^2$ avec des coefficients non nuls, nous ramenant au premier cas.
Cas 1 : Il existe un terme diagonal non nul
Cas 2 : Tous les termes diagonaux sont nuls