Quelques rappels sur les nombres complexes
Rappels
Pour tout nombre complexe $z = a+ib$ (avec $(a,b) \in \mathbb{R}^2$), on rappelle les définitions et identités suivantes :
- Conjugué : $\bar{z} = a-ib$.
- Partie réelle : $Re(z) = a = \frac{z+\bar{z}}{2}$.
- Partie imaginaire : $Im(z) = b = \frac{z-\bar{z}}{2i}$.
- Module : $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$, et $|z|^2 = z\bar{z}$.
- Identités utiles : $Re(z) = Re(\bar{z})$, $Im(z) = -Im(\bar{z})$, et $Re(iz) = -Im(z)$.
- Module d’une somme : $|z_1+z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2Re(z_1\bar{z_2})$.
Définition et propriétés de base
Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{C}$-espaces vectoriels. Une application $f: E \to F$ est dite semi-linéaire (ou anti-linéaire) si :
- Elle est additive : $\forall x, y \in E, f(x+y) = f(x)+f(y)$.
- Elle est anti-homogène : $\forall \alpha \in \mathbb{C}, \forall x \in E, f(\alpha x) = \bar{\alpha}f(x)$.
Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel. Une application $f: E \times E \to \mathbb{C}$ est une forme sesquilinéaire sur $E$ si :
- Pour tout $x \in E$ fixé, l’application $y \mapsto f(x,y)$ est linéaire.
- Pour tout $y \in E$ fixé, l’application $x \mapsto f(x,y)$ est semi-linéaire.
Une forme sesquilinéaire $f$ est dite hermitienne si elle vérifie la symétrie hermitienne : $$ \forall (x,y) \in E \times E, \quad f(x,y) = \overline{f(y,x)} $$
Remarque
Une application $f$ est sesquilinéaire si et seulement si elle est additive par rapport à chaque variable et vérifie : $$ \forall \alpha, \beta \in \mathbb{C}, \forall x, y \in E, \quad f(\alpha x, \beta y) = \bar{\alpha}\beta f(x,y) $$ (Note : certains auteurs définissent la linéarité sur la première variable et la semi-linéarité sur la seconde).