Les formules de Taylor permettent d’approcher une fonction suffisamment dérivable au voisinage d’un point par un polynôme, dont les coefficients dépendent des dérivées successives de la fonction en ce point. La version avec reste de Lagrange donne une expression exacte de l’erreur d’approximation.
Soit $f$ une fonction de classe $C^n$ sur un segment $[a, b]$ et dont la dérivée $(n+1)$-ième, $f^{(n+1)}$, existe sur l’intervalle ouvert $]a,b[$. Alors, il existe un réel $c \in ]a,b[$ tel que : $$ f(b) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1} $$
Le dernier terme est appelé le reste de Lagrange.
Démonstration
On construit une fonction auxiliaire $g$ sur $[a,b]$ par : $$ g(x) = f(b) – \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x)}{k!}(b-x)^k – M \frac{(b-x)^{n+1}}{(n+1)!} $$ où la constante $M$ est choisie de sorte que $g(a)=0$. On a aussi trivialement $g(b)=0$. La fonction $g$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$.
D’après le théorème de Rolle, il existe donc $c \in ]a,b[$ tel que $g'(c)=0$. Le calcul de la dérivée $g'(x)$ est une somme télescopique qui se simplifie considérablement : $$ g'(x) = -\frac{f^{(n+1)}(x)}{n!}(b-x)^n + M \frac{(b-x)^n}{n!} = \frac{(b-x)^n}{n!} (M – f^{(n+1)}(x)) $$ La condition $g'(c)=0$ implique alors que $M=f^{(n+1)}(c)$. En remplaçant cette valeur de $M$ dans l’équation initiale $g(a)=0$, on obtient la formule de Taylor-Lagrange.
Remarques
- Le théorème reste vrai si $b < a$.
- Le nombre $c$ est souvent désigné par $a + \theta(b-a)$ avec $0 < \theta < 1$.
- Formule de Taylor-Maclaurin : C’est le cas particulier où $a=0$ et $b=x$. Il existe $\theta \in ]0,1[$ tel que : $$ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1} $$