Un polyèdre est un solide géométrique à trois dimensions avec des faces planes, des arêtes droites et des sommets. Pour que la formule d’Euler s’applique, le polyèdre doit être convexe (il ne doit pas avoir de « creux ») et « simple » (sans trou qui le traverserait, comme un tore).
On s’intéresse à trois de ses caractéristiques :
- S : le nombre de Sommets (les coins).
- A : le nombre d’Arêtes (les segments qui relient les sommets).
- F : le nombre de Faces (les polygones qui forment la surface du solide).
Pour tout polyèdre convexe, la relation suivante est toujours vraie :
S – A + F = 2
Vérification sur des Exemples
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Le Cube :
- S = 8 (sommets)
- A = 12 (arêtes)
- F = 6 (faces)
- Calcul : 8 – 12 + 6 = -4 + 6 = 2
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Le Tétraèdre (pyramide à base triangulaire) :
- S = 4 (sommets)
- A = 6 (arêtes)
- F = 4 (faces)
- Calcul : 4 – 6 + 4 = -2 + 4 = 2
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Le Ballon de football (icosaèdre tronqué) :
- S = 60 (sommets)
- A = 90 (arêtes)
- F = 32 (12 pentagones + 20 hexagones)
- Calcul : 60 – 90 + 32 = -30 + 32 = 2
Une Propriété Topologique Fondamentale
La formule d’Euler est bien plus qu’une simple curiosité géométrique. Le nombre 2, appelé caractéristique d’Euler, est un invariant topologique. Cela signifie qu’il reste constant pour tous les objets qui sont « topologiquement équivalents » à une sphère.
On peut imaginer « gonfler » un polyèdre comme un ballon : les arêtes deviennent des lignes sur la surface et les faces des régions. On obtient alors un graphe planaire. La formule d’Euler s’applique aussi à tous les graphes planaires connexes, et elle est une étape clé dans la démonstration du théorème des quatre couleurs.