Les formules de Taylor permettent d’approcher une fonction suffisamment dérivable au voisinage d’un point par un polynôme, dont les coefficients dépendent des dérivées successives de la fonction en ce point.
Soit $f$ une fonction de classe $C^{n-1}$ sur un segment $[a,b]$ et dont la dérivée $n$-ième, $f^{(n)}$, existe sur l’intervalle ouvert $]a,b[$. Alors, il existe un réel $c \in ]a,b[$ tel que : $$ f(b) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k + \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(b-a)^n $$
Le dernier terme est appelé le reste de Lagrange.
Démonstration
On construit une fonction auxiliaire $g(x) = f(b) – \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(x)}{k!}(b-x)^k – M \frac{(b-x)^n}{n!}$ où la constante $M$ est choisie de sorte que $g(a)=0$. Comme on a aussi $g(b)=0$, et que $g$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$, on peut appliquer le théorème de Rolle. Il existe donc $c \in ]a,b[$ tel que $g'(c)=0$. Le calcul de la dérivée $g'(x)$ montre, après simplification, que $g'(x) = -\frac{(b-x)^{n-1}}{(n-1)!} (f^{(n)}(x) – M)$. La condition $g'(c)=0$ implique alors $M=f^{(n)}(c)$, ce qui donne la formule en évaluant $g(a)=0$.
C’est un cas particulier de la formule de Taylor-Lagrange avec $a=0$ et $b=x$. Sous les mêmes hypothèses de régularité, il existe $\theta \in ]0,1[$ tel que : $$ f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + \frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!}x^n $$
Exemple
Pour la fonction $f(x)=e^x$, toutes les dérivées sont $e^x$. La formule de Taylor-Maclaurin à l’ordre $n-1$ donne : $$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} + \frac{e^{\theta x}}{n!}x^n, \quad \text{avec } 0 < \theta < 1 $$
Soit $f$ une fonction de classe $C^n$ sur un voisinage $I$ d’un point $x_0$. Alors pour tout $x \in I$, on a : $$ f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + (x-x_0)^n \epsilon(x) $$ où $\epsilon$ est une fonction définie sur $I$ telle que $\lim_{x \to x_0} \epsilon(x) = 0$.
Remarque
La formule de Taylor-Young est une propriété locale, utile pour les développements limités et l’étude du comportement d’une fonction très près d’un point. La formule de Taylor-Lagrange est globale, elle donne une égalité valable sur tout un segment et permet de majorer l’erreur d’approximation.