Généralités sur les fonctions numériques – Cours Tronc commun Science

Cours : Généralité sur les Fonctions Numériques
Généralité sur les fonctions numériques

1. Fonctions numériques : Définitions

Activité 1

Considérons un rectangle de longueur $(x+1)$ cm et de largeur 2 cm tel que $x$ est un réel supérieur à 3.

On désigne par $f(x)$ la surface de ce rectangle.

  1. Déterminer l’expression de $f(x)$.
  2. Déterminer la surface de ce rectangle si $x=4$ et si $x=5$.
  3. Déterminer les valeurs possibles de $x$ si $f(x)=12$ puis si $f(x)=20$.
Définition : Fonction Numérique

Une fonction numérique d’une variable réelle $x$ est une relation qui à un nombre réel $x$ associe un unique nombre réel $y$ noté $f(x)$. On écrit alors : $f(x) = y$.

  • L’image d’un nombre $x$ par la fonction $f$ est unique et se note $f(x)$.
  • Si $y$ est l’image de $x$, on a l’égalité $f(x)=y$ et $x$ est appelé un antécédent de $y$ par la fonction $f$.
  • La notation suivante se rencontre également : $f: x \mapsto f(x)$.
Application 1

Considérons $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 2x^2 – 3$.

  1. Déterminer les images de -2, 0 et 2 par $f$.
  2. Déterminer les antécédents, s’ils existent, des nombres 0, 5 et -4.

2. Ensemble de définition

Activité 2

Considérons $f$ la fonction définie par : $f(x) = \frac{2x}{x^2 – 1}$.

Déterminer les images, si possible, des nombres 0, 1 et -1.

Définition : Ensemble de définition

L’ensemble de définition d’une fonction $f$, noté souvent $D_f$, est l’ensemble des valeurs de la variable $x$ pour lesquelles $f(x)$ est calculable. On écrit :

$$ D_f = \{ x \in \mathbb{R} \, / \, f(x) \in \mathbb{R} \} $$
Remarque

Pour déterminer l’ensemble de définition d’une fonction, il faut éliminer tous les nombres pour lesquels le dénominateur est nul et ceux pour lesquels ce qui est sous le symbole de la racine carrée est strictement négatif.

Technique

Soient $P(x)$ et $Q(x)$ deux fonctions polynomiales, on a :

FonctionEnsemble de définition
$x \mapsto P(x)$$D = \mathbb{R}$
$x \mapsto \frac{P(x)}{Q(x)}$$D = \{ x \in \mathbb{R} \, / \, Q(x) \neq 0 \}$
$x \mapsto \sqrt{P(x)}$$D = \{ x \in \mathbb{R} \, / \, P(x) \ge 0 \}$
$x \mapsto \frac{P(x)}{\sqrt{Q(x)}}$$D = \{ x \in \mathbb{R} \, / \, Q(x) > 0 \}$
$x \mapsto \frac{\sqrt{P(x)}}{Q(x)}$$D = \{ x \in \mathbb{R} \, / \, P(x) \ge 0 \text{ et } Q(x) \neq 0 \}$

3. Égalité de deux fonctions

Définition : Égalité de fonctions

Soient $f$ et $g$ deux fonctions et $D_f$ et $D_g$ leurs ensembles de définition respectifs. On dit que $f$ et $g$ sont égales et on écrit $f=g$ si :

  • $D_f = D_g = D$
  • $f(x) = g(x)$ pour tout $x$ de $D$.
Application 3

Montrer que les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x) = \frac{\sqrt{x}+2}{x-4}$ et $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}-2}$ sont égales.

4. Représentation graphique

Définition : Courbe représentative

Dans un repère du plan, la courbe représentative de la fonction $f$, notée souvent $(C_f)$, est l’ensemble des points $M(x, f(x))$ où $x$ parcourt le domaine de définition $D_f$ de la fonction $f$. L’équation de cette courbe est : $y = f(x)$.

Application 4

Considérons $f$ la fonction définie par sa courbe $(C_f)$ représentée ci-dessous :

  1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$.
  2. Remplir le tableau :
    $x$-3-2-1025
    $f(x)$
  3. Déterminer les antécédents par $f$ des nombres suivants : 0, -1, 1 et 2.
Intersection avec les axes

Soit $f$ une fonction et $(C_f)$ sa courbe dans un repère du plan.

  • Pour déterminer les points d’intersection de $(C_f)$ avec l’axe des abscisses, on résout l’équation $f(x)=0$ pour $x \in D_f$.
  • Si $0 \in D_f$, alors le point d’intersection de $(C_f)$ avec l’axe des ordonnées est $A(0, f(0))$.

5. Parité d’une fonction

Activité 4

Considérons la fonction $f$ définie par sa courbe $(C_f)$ :

  1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$.
  2. Comparer $f(-2)$ et $f(2)$ puis $f(-3)$ et $f(3)$.
  3. Soit $x \in D_f$, comparer $f(-x)$ et $f(x)$.
  4. Quelle est la propriété géométrique vérifiée par $(C_f)$?
Définition : Fonction Paire

On dit qu’une fonction $f$ est paire si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

  • Pour tout $x$ de $D_f$, on a $-x \in D_f$.
  • Pour tout $x$ de $D_f$, on a $f(-x) = f(x)$.

Interprétation graphique : $f$ est paire si et seulement si sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Activité 5

Considérons la fonction $g$ définie par sa courbe $(C_g)$ :

  1. Déterminer l’ensemble de définition de $g$.
  2. Comparer $f(-3)$ et $f(3)$ puis $f(-1)$ et $f(1)$.
  3. Soit $x \in D_g$, comparer $f(-x)$ et $f(x)$.
  4. Quelle est la propriété géométrique vérifiée par $(C_g)$?
Définition : Fonction Impaire

On dit qu’une fonction $f$ est impaire si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

  • Pour tout $x$ de $D_f$, on a $-x \in D_f$.
  • Pour tout $x$ de $D_f$, on a $f(-x) = -f(x)$.

Interprétation graphique : $f$ est impaire si et seulement si sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.

6. Variations d’une fonction

Activité 6

Considérons $f$ la fonction définie par sa courbe représentée ci-dessous :

  1. Déterminer $D_f$.
  2. Soient $a$ et $b$ deux nombres de $[-3, -1]$ tels que $a < b$. Comparer graphiquement $f(a)$ et $f(b)$.
  3. Soient $a$ et $b$ deux nombres de $[-1, 2]$ tels que $a < b$. Comparer graphiquement $f(a)$ et $f(b)$.
  4. Compléter le tableau de variations.
  5. Déterminer la valeur maximale et la valeur minimale de $f$ sur $[-3, 4]$.
Définition : Monotonie

Soit $f$ une fonction et $I$ un intervalle inclus dans son ensemble de définition.

  • $f$ est strictement croissante sur $I$ si pour tous réels $a, b \in I$ tels que $a < b$, on a $f(a) < f(b)$.
  • $f$ est strictement décroissante sur $I$ si pour tous réels $a, b \in I$ tels que $a < b$, on a $f(a) > f(b)$.
  • $f$ est constante sur $I$ si pour tous réels $a, b \in I$, on a $f(a) = f(b)$.
Propriété : Taux de variation

Soient $f$ une fonction, $a$ et $b$ deux nombres distincts de $D_f$. Le nombre réel $T = \frac{f(b) – f(a)}{b – a}$ est appelé taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$.

  • Si $T > 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
  • Si $T < 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
  • Si $T = 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

7. Extrémums d’une fonction

Définition : Extrémums

Soit $f$ une fonction, $I$ un intervalle inclus dans $D_f$ et $a \in I$.

  • On dit que $f(a)$ est le minimum de $f$ sur $I$ si pour tout $x \in I$, on a $f(x) \ge f(a)$.
  • On dit que $f(a)$ est le maximum de $f$ sur $I$ si pour tout $x \in I$, on a $f(x) \le f(a)$.
  • Un extrémum est un minimum ou un maximum.
Application 12

Soit $f$ une fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^2 – 2x + 5$.

  1. Calculer $f(1)$.
  2. a. Montrer que $f(x) \ge 4$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
    b. Qu’en déduisez-vous ?

8. Position relative de deux courbes

Propriété : Position relative

Soient $f$ et $g$ deux fonctions et $D$ un ensemble inclus dans $D_f \cap D_g$.

  • Dire que $f(x) > g(x)$ pour tout $x \in D$ revient à dire que $(C_f)$ est strictement au-dessus de $(C_g)$ sur $D$.
  • Dire que $f(x) \le g(x)$ pour tout $x \in D$ revient à dire que $(C_f)$ est au-dessous de $(C_g)$ sur $D$.
  • Dire que $f(a) = g(a)$ (avec $a \in D$) revient à dire que $(C_f)$ et $(C_g)$ se coupent au point d’abscisse $a$.
Application 13

Les fonctions $f$ et $g$ sont définies sur $\mathbb{R}$; leurs représentations graphiques sont données ci-dessous.

  1. Résoudre graphiquement l’équation $f(x) = g(x)$.
  2. Résoudre graphiquement les inéquations suivantes :
    • $f(x) \le g(x)$
    • $f(x) > g(x)$