Identifier Géométriquement Homothétie, Projection, Symétrie
Les endomorphismes les plus simples ne sont pas juste des matrices de nombres ; ils correspondent à des transformations géométriques claires et intuitives. Les homothéties, les projections et les symétries sont les briques de base de ces transformations. Apprendre à les reconnaître à partir de leurs propriétés algébriques (valeurs propres, polynômes annulateurs) est essentiel.
Une homothétie vectorielle de rapport $k$ est un endomorphisme $h$ qui « étire » ou « contracte » tous les vecteurs de l’espace par ce même facteur $k$.
Critères d’identification :
- Algébrique : $h = k \cdot \text{Id}$. Sa matrice dans n’importe quelle base est une matrice scalaire $k \cdot I$.
- Valeurs propres : Elle n’admet qu’une seule valeur propre, $k$.
- Sous-espaces propres : Le sous-espace propre associé à $k$ est l’espace entier $E$.
Une projection vectorielle $p$ est un endomorphisme qui projette l’espace $E$ sur un sous-espace $F$ (son image) parallèlement à un autre sous-espace $G$ (son noyau).
Critères d’identification :
- Algébrique : C’est un endomorphisme idempotent : $p \circ p = p$ (ou $P^2=P$ pour sa matrice). Projeter une deuxième fois ne change rien.
- Valeurs propres : Ses seules valeurs propres possibles sont 0 et 1.
- Sous-espaces propres :
– Le sous-espace propre associé à 1 est l’ensemble des vecteurs qui ne bougent pas : $E_1 = \text{Im}(p) = F$.
– Le sous-espace propre associé à 0 est l’ensemble des vecteurs envoyés sur le vecteur nul : $E_0 = \text{Ker}(p) = G$. - Diagonalisabilité : Un projecteur est toujours diagonalisable, car l’espace est la somme directe de ses sous-espaces propres : $E = \text{Ker}(p) \oplus \text{Im}(p)$.
Une symétrie vectorielle $s$ est un endomorphisme qui « reflète » l’espace $E$ par rapport à un sous-espace $F$ (le « miroir ») parallèlement à une direction $G$.
Critères d’identification :
- Algébrique : C’est un endomorphisme involutif : $s \circ s = \text{Id}$ (ou $S^2=I$ pour sa matrice). Appliquer deux fois la symétrie revient au point de départ.
- Valeurs propres : Ses seules valeurs propres possibles sont 1 et -1.
- Sous-espaces propres :
– Le sous-espace propre associé à 1 est l’ensemble des vecteurs invariants : $E_1 = F$, l’axe de symétrie.
– Le sous-espace propre associé à -1 est l’ensemble des vecteurs envoyés sur leur opposé : $E_{-1} = G$, la direction de la symétrie. - Diagonalisabilité : Une symétrie est toujours diagonalisable, car l’espace est la somme directe de ses sous-espaces propres : $E = E_1 \oplus E_{-1}$.
Exemple de Synthèse
Un endomorphisme $f$ de $\mathbb{R}^3$ a pour polynôme minimal $\mu_f(X) = X^2 – 1$. Que peut-on dire de $f$ ?
Le polynôme minimal annule $f$, donc $f^2 – \text{Id} = 0$, soit $f^2 = \text{Id}$.
L’endomorphisme est involutif, c’est donc une symétrie vectorielle.
Comme le polynôme minimal est scindé à racines simples (1 et -1), $f$ est diagonalisable. Ses valeurs propres sont 1 et -1.
$f$ est donc une symétrie par rapport au plan $E_1 = \text{Ker}(f-\text{Id})$ et de direction la droite $E_{-1}=\text{Ker}(f+\text{Id})$, ou l’inverse.