Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel muni d’une forme bilinéaire symétrique positive $f$. Alors, pour tous vecteurs $x, y \in E$, on a : $$ (f(x,y))^2 \le f(x,x) f(y,y) $$
Démonstration
Soient $x, y \in E$. Pour tout scalaire $\lambda \in \mathbb{R}$, considérons le vecteur $\lambda x + y$. Puisque la forme $f$ est positive, on a $f(\lambda x + y, \lambda x + y) \ge 0$. En développant par bilinéarité, on obtient : $$ f(\lambda x, \lambda x) + 2f(\lambda x, y) + f(y,y) \ge 0 $$ $$ \lambda^2 f(x,x) + 2\lambda f(x,y) + f(y,y) \ge 0 $$ Cette expression est un polynôme du second degré en $\lambda$ qui reste toujours positif ou nul. Son discriminant doit donc être négatif ou nul : $$ \Delta = (2f(x,y))^2 – 4f(x,x)f(y,y) \le 0 $$ $$ 4(f(x,y))^2 \le 4f(x,x)f(y,y) $$ Ce qui donne bien l’inégalité recherchée.
Dans un espace préhilbertien réel, pour tous vecteurs $x, y$, on a : $$ |\langle x, y \rangle| \le \|x\| \|y\| $$
Dans un espace préhilbertien réel, l’égalité $|\langle x, y \rangle| = \|x\| \|y\|$ a lieu si et seulement si la famille $(x,y)$ est liée (c’est-à-dire si $x$ et $y$ sont colinéaires).
Démonstration
L’égalité dans l’inégalité de Cauchy-Schwarz correspond à un discriminant nul pour le polynôme en $\lambda$ de la démonstration précédente. Un discriminant nul signifie que le polynôme admet une racine réelle unique $\lambda_0$. Pour cette valeur, on a $f(\lambda_0 x + y, \lambda_0 x + y) = 0$. Comme $f$ est un produit scalaire (donc défini positif), cela implique $\lambda_0 x + y = 0$, ce qui montre que $x$ et $y$ sont colinéaires. Réciproquement, si $y=\alpha x$, un calcul direct montre que l’égalité est vérifiée.
Exemples d’Application
- Dans $\mathbb{R}^n$ usuel : $\left| \sum_{i=1}^n x_i y_i \right| \le \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2}$.
- Dans $C([a,b], \mathbb{R})$ : $\left| \int_a^b f(t)g(t)dt \right| \le \sqrt{\int_a^b f(t)^2 dt} \sqrt{\int_a^b g(t)^2 dt}$.
Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$). Une norme sur $E$ est une application $\| \cdot \|: E \to \mathbb{R}^+$ qui vérifie :
- Séparation : $\|x\|=0 \iff x=0$.
- Homogénéité : $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall x \in E, \|\lambda x\| = |\lambda| \|x\|$.
- Inégalité triangulaire : $\forall x,y \in E, \|x+y\| \le \|x\| + \|y\|$.
Le couple $(E, \| \cdot \|)$ est alors un espace vectoriel normé.
Dans un espace préhilbertien réel, l’application $x \mapsto \sqrt{\langle x, x \rangle}$ est une norme, appelée norme euclidienne.
Démonstration
Les propriétés de séparation et d’homogénéité sont des conséquences directes de la définition du produit scalaire. L’inégalité triangulaire est une conséquence de l’inégalité de Cauchy-Schwarz : $$ \|x+y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x,y \rangle + \|y\|^2 \le \|x\|^2 + 2|\langle x,y \rangle| + \|y\|^2 $$ $$ \le \|x\|^2 + 2\|x\|\|y\| + \|y\|^2 = (\|x\|+\|y\|)^2 $$ En prenant la racine carrée, on obtient le résultat.