Contexte : Contrôler les Écarts à la Moyenne
L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev est un résultat de la théorie des probabilités qui donne une borne supérieure à la probabilité qu’une variable aléatoire s’écarte de son espérance.
- Son immense force réside dans son universalité : elle s’applique à n’importe quelle variable aléatoire dont on connaît l’espérance et la variance, sans avoir besoin de connaître sa loi de probabilité (loi normale, loi de Poisson, etc.).
- Elle fournit une garantie, un « pire cas », sur la concentration de la variable autour de sa moyenne.
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Soit $X$ une variable aléatoire d’espérance finie $\mu$ et de variance finie $\sigma^2$.
Alors, pour tout nombre réel $\epsilon > 0$, la probabilité que $X$ s’écarte de son espérance $\mu$ de plus de $\epsilon$ est majorée par la variance divisée par $\epsilon^2$ : $$ P(|X – \mu| \ge \epsilon) \le \frac{\sigma^2}{\epsilon^2} $$
Démonstration (par l’inégalité de Markov)
La preuve est remarquablement courte et élégante. Elle est une application directe de l’inégalité de Markov.
- Inégalité de Markov : Pour toute variable aléatoire positive $Y$ et tout $a > 0$, on a $P(Y \ge a) \le \frac{E[Y]}{a}$.
- Application : On considère la variable aléatoire $Y = (X-\mu)^2$. Cette variable est toujours positive. Son espérance est, par définition, la variance de $X$ : $E[Y] = E[(X-\mu)^2] = \sigma^2$.
- On applique l’inégalité de Markov à $Y$ avec $a = \epsilon^2$ (où $\epsilon > 0$) : $$ P((X-\mu)^2 \ge \epsilon^2) \le \frac{E[(X-\mu)^2]}{\epsilon^2} $$
- Conclusion : L’événement $(X-\mu)^2 \ge \epsilon^2$ est exactement le même que l’événement $|X-\mu| \ge \epsilon$. En remplaçant les termes, on obtient : $$ P(|X – \mu| \ge \epsilon) \le \frac{\sigma^2}{\epsilon^2} $$
Applications et Importance
- Preuve de la Loi Faible des Grands Nombres : C’est l’ingrédient principal de la preuve la plus simple de la loi faible des grands nombres, qui montre que la moyenne d’un grand échantillon converge en probabilité vers l’espérance.
- Borne universelle : Bien que la borne donnée par l’inégalité soit souvent très large et peu précise pour des lois connues, sa puissance vient du fait qu’elle ne nécessite aucune information sur la loi de la variable.
- Statistiques et Finance : Elle est utilisée en théorie pour garantir des niveaux de confiance minimaux dans des situations où les distributions sont inconnues ou difficiles à modéliser.