En probabilités, on cherche souvent à estimer la probabilité d’un événement « rare » ou « extrême ». L’inégalité de Markov fournit une première réponse, une « borne supérieure », à cette question.
Sa grande force est qu’elle est universelle : elle ne dépend pas de la loi de probabilité de la variable, mais uniquement de deux conditions :
- La variable aléatoire doit être positive ou nulle.
- On doit connaître son espérance (sa valeur moyenne).
Soit $X$ une variable aléatoire positive ou nulle, et d’espérance finie $E[X]$. Alors, pour tout nombre réel $a > 0$, on a :
$P(X \ge a) \le \frac{E[X]}{a}$
Interprétation et Utilité
L’inégalité nous dit que la probabilité qu’une variable positive dépasse un certain seuil $a$ est limitée par le rapport entre sa moyenne et ce seuil.
Autrement dit, une variable ne peut pas prendre « trop souvent » des valeurs très supérieures à sa moyenne.
Exemple concret :
Le revenu annuel moyen dans une ville est de 40 000 €. Que peut-on dire de la proportion de personnes gagnant 200 000 € ou plus ?
- $X$ = revenu (variable positive).
- $E[X] = 40\,000$.
- $a = 200\,000$.
- Application de l’inégalité : $P(X \ge 200\,000) \le \frac{40\,000}{200\,000} = \frac{1}{5} = 0.2$.
- Conclusion : Il y a au maximum 20% de la population qui gagne 200 000 € ou plus. Si cette proportion était plus grande, la moyenne serait mathématiquement supérieure à 40 000 €.
Cette inégalité est une brique de base pour démontrer d’autres inégalités plus précises, comme l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, qui utilise la variance pour obtenir une meilleure borne.