Injectivité et Noyau d’un Morphisme

Le noyau d’un morphisme de groupes ne sert pas seulement à identifier un sous-groupe intéressant ; il est l’outil par excellence pour déterminer si un morphisme est injectif. La relation entre la taille du noyau et l’injectivité est l’un des premiers grands résultats de la théorie des groupes.

Théorème de Caractérisation de l’Injectivité

Soit $f: (G, \star) \to (H, \bullet)$ un morphisme de groupes.
$f$ est injectif si et seulement si son noyau est réduit à l’élément neutre de $G$. $$ f \text{ est injectif} \iff \ker(f) = \{e_G\} $$

Démonstration

Sens direct ($\Rightarrow$)

Supposons que $f$ est injectif. Nous voulons montrer que $\ker(f) = \{e_G\}$.

Soit $x \in \ker(f)$. Par définition, $f(x) = e_H$.
Nous savons aussi qu’un morphisme envoie le neutre sur le neutre, donc $f(e_G) = e_H$.
Nous avons donc $f(x) = f(e_G)$.
Puisque $f$ est injectif, cela implique $x = e_G$.
Ainsi, le seul élément dans le noyau est $e_G$. Donc, $\ker(f) = \{e_G\}$.

Sens réciproque ($\Leftarrow$)

Supposons que $\ker(f) = \{e_G\}$. Nous voulons montrer que $f$ est injectif.

Soient $x, y \in G$ tels que $f(x) = f(y)$.
Composons les deux côtés de l’égalité par le symétrique de $f(y)$ à droite :
$f(x) \bullet (f(y))’ = f(y) \bullet (f(y))’ = e_H$.
Comme $f$ est un morphisme, $(f(y))’ = f(y’)$. L’équation devient :
$f(x) \bullet f(y’) = e_H$.
Toujours parce que $f$ est un morphisme, on peut regrouper les termes :
$f(x \star y’) = e_H$.
Par définition du noyau, cela signifie que l’élément $x \star y’$ appartient à $\ker(f)$.
Or, par hypothèse, $\ker(f) = \{e_G\}$. Donc, $x \star y’ = e_G$.
En composant à droite par $y$, on obtient $x = e_G \star y = y$.
Nous avons bien montré que $f(x) = f(y) \implies x=y$, donc $f$ est injectif.