Construction de l’intégrale d’une fonction bornée
Une fonction $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ est dite intégrable au sens de Riemann sur $[a,b]$ si, pour tout $\epsilon > 0$, il existe deux fonctions en escalier $\phi$ et $\psi$ sur $[a,b]$ telles que : $$ \phi \le f \le \psi \quad \text{et} \quad \int_a^b (\psi(x) – \phi(x))dx \le \epsilon $$
Remarque
Cette définition implique que toute fonction intégrable au sens de Riemann est nécessairement bornée, car elle est encadrée par des fonctions en escalier qui sont elles-mêmes bornées.
Pour une fonction bornée quelconque $f$, on définit les ensembles suivants :
- $\mathcal{E}_+(f) = \{\psi \in \mathcal{E}([a,b], \mathbb{R}) \mid \psi \ge f\}$ (fonctions en escalier majorant f)
- $\mathcal{E}_-(f) = \{\phi \in \mathcal{E}([a,b], \mathbb{R}) \mid \phi \le f\}$ (fonctions en escalier minorant f)
- $\mathcal{U}(f) = \{\int_a^b \psi(x)dx \mid \psi \in \mathcal{E}_+(f)\}$ (intégrales supérieures)
- $\mathcal{L}(f) = \{\int_a^b \phi(x)dx \mid \phi \in \mathcal{E}_-(f)\}$ (intégrales inférieures)
L’ensemble $\mathcal{L}(f)$ est majoré par n’importe quel élément de $\mathcal{U}(f)$, il admet donc une borne supérieure finie, notée $I^-(f) = \sup \mathcal{L}(f)$. De même, $\mathcal{U}(f)$ est minoré et admet une borne inférieure finie, notée $I^+(f) = \inf \mathcal{U}(f)$. On a toujours $I^-(f) \le I^+(f)$.
Une fonction bornée $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ est intégrable au sens de Riemann si et seulement si son intégrale inférieure et son intégrale supérieure coïncident : $$ I^-(f) = I^+(f) $$ La valeur commune de ces deux nombres est alors l’intégrale de Riemann de $f$ sur $[a,b]$, notée $\int_a^b f(x)dx$.
Exemples de fonctions intégrables au sens de Riemann
Toute fonction monotone sur un intervalle fermé borné $[a,b]$ est intégrable au sens de Riemann.
Toute fonction continue sur un intervalle fermé borné $[a,b]$ est intégrable au sens de Riemann.
La démonstration repose sur le théorème de Heine, qui stipule qu’une fonction continue sur un segment y est uniformément continue.
Toute fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé borné $[a,b]$ est intégrable au sens de Riemann.
Interprétation Géométrique
Soit $f$ une fonction intégrable sur $[a,b]$ et $(C)$ sa courbe représentative. L’intégrale $\int_a^b f(x)dx$ représente l’aire algébrique de la surface délimitée par la courbe $(C)$, l’axe des abscisses, et les droites verticales d’équations $x=a$ et $x=b$.
L’aire est comptée positivement lorsque la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses, et négativement lorsqu’elle est en dessous. L’aire géométrique totale est donnée par l’intégrale de la valeur absolue, $\int_a^b |f(x)|dx$.