Soit $f$ une fonction intégrable sur $[a, b]$ et soit $t_0$ un point fixé dans $[a, b]$. On appelle intégrale indéfinie de $f$ la fonction $F$ définie sur $[a,b]$ par : $$ F(t) = \int_{t_0}^{t} f(x)dx $$
Remarque
Deux intégrales indéfinies de la même fonction $f$ ne diffèrent que d’une constante. En effet, par la relation de Chasles, $\int_{t_0}^{t} f(x)dx – \int_{t_1}^{t} f(x)dx = \int_{t_0}^{t_1} f(x)dx$, qui est une constante.
Soit $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction intégrable. Alors, la fonction $F(t) = \int_a^t f(x)dx$ est lipschitzienne, et donc uniformément continue sur $[a,b]$.
Soit $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction intégrable. La fonction $F(t) = \int_a^t f(x)dx$ admet une dérivée à droite (resp. à gauche) en tout point où $f$ admet une limite à droite (resp. à gauche), et l’on a $F’_d(t) = f(t^+)$ (resp. $F’_g(t) = f(t^-)$).
Si $f$ est une fonction intégrable sur $[a,b]$, son intégrale indéfinie $F(t) = \int_a^t f(x)dx$ admet $f(t)$ pour dérivée en tout point $t$ de $[a,b]$ où $f$ est continue.
Soit $f: I \to \mathbb{R}$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F'(t) = f(t)$ pour tout $t \in I$.
Soit $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction continue. Alors l’intégrale indéfinie $F(t) = \int_a^t f(x)dx$ est une primitive de $f$ sur $[a,b]$. Si $G$ est une primitive quelconque de $f$ sur $[a,b]$, alors : $$ \int_a^b f(x)dx = [G(x)]_a^b = G(b) – G(a) $$
Toute fonction continue sur un intervalle quelconque $I$ de $\mathbb{R}$ admet une infinité de primitives sur cet intervalle.