Soit $f: [a,b[ \to \mathbb{R}$ une fonction continue. On dit que l’intégrale $\int_a^b f(t)dt$ est absolument convergente si l’intégrale de sa valeur absolue, $\int_a^b |f(t)|dt$, est convergente.
Soit $f: [a,b[ \to \mathbb{R}$ une fonction continue. Si l’intégrale $\int_a^b f(t)dt$ est absolument convergente, alors elle est convergente.
Remarque
La réciproque de ce théorème est fausse. Une intégrale peut être convergente sans être absolument convergente. On parle alors d’intégrale semi-convergente.
Exemple
L’intégrale $\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t}dt$ est un exemple classique d’intégrale semi-convergente. On peut montrer sa convergence par une intégration par parties (règle d’Abel), mais l’intégrale de sa valeur absolue, $\int_1^{+\infty} \frac{|\sin t|}{t}dt$, est divergente.
i) Soit $f$ une fonction continue sur $[a, +\infty[$. S’il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que la limite $\lim_{x \to +\infty} x^\alpha f(x) = k$ existe :
- Si $\alpha > 1$, alors $\int_a^{+\infty} f(t)dt$ est absolument convergente.
- Si $\alpha \le 1$ et $k \neq 0$, alors $\int_a^{+\infty} f(t)dt$ est divergente.
ii) Soit $f$ une fonction continue sur $]a, b]$. S’il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que la limite $\lim_{x \to a^+} (x-a)^\alpha f(x) = k$ existe :
- Si $\alpha < 1$, alors $\int_a^b f(t)dt$ est absolument convergente.
- Si $\alpha \ge 1$ et $k \neq 0$, alors $\int_a^b f(t)dt$ est divergente.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a, +\infty[$ telles que :
- $f$ est de classe $C^1$ sur $[a, +\infty[$.
- $f$ est décroissante et tend vers 0 en $+\infty$.
- Il existe un réel $M \ge 0$ tel que, pour tout $x \in [a, +\infty[$, $\left| \int_a^x g(t)dt \right| \le M$ (la primitive de $g$ est bornée).
Alors, l’intégrale $\int_a^{+\infty} f(t)g(t)dt$ est convergente.