Intégrales généralisées de fonctions à signe constant : critères de convergence

Soit $f: [a,b[ \to \mathbb{R}$ une fonction continue et positive. L’intégrale $\int_a^b f(t)dt$ est convergente si et seulement si la fonction $x \mapsto \int_a^x f(t)dt$ est majorée sur $[a,b[$.

Soit $f: [a,b[ \to \mathbb{R}$ une fonction continue. L’intégrale $\int_a^b f(t)dt$ converge si et seulement si : $$ \forall \epsilon > 0, \exists c \in [a,b[ \text{ tel que } \forall x,y \in [c,b], \quad \left| \int_x^y f(t)dt \right| \le \epsilon $$

Soient $f, g: [a,b[ \to \mathbb{R}$ deux fonctions continues et positives. S’il existe une constante $M > 0$ telle que $f(x) \le M g(x)$ pour tout $x \in [a,b[$, alors :

• Si $\int_a^b g(t)dt$ converge, alors $\int_a^b f(t)dt$ converge.
• Si $\int_a^b f(t)dt$ diverge, alors $\int_a^b g(t)dt$ diverge.

Soient $f, g: [a,b[ \to \mathbb{R}$ deux fonctions continues, avec $g$ de signe constant. Si $f(t) = O(g(t))$ (en particulier si $f(t)=o(g(t))$) au voisinage de $b$, alors :

Si l’intégrale $\int_a^b g(t)dt$ est convergente, alors l’intégrale $\int_a^b f(t)dt$ l’est aussi.

Soient $f, g: [a,b[ \to \mathbb{R}$ deux fonctions continues et positives. Si $f(x) \sim_b g(x)$ (c’est-à-dire $\lim_{x \to b} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$), alors les intégrales $\int_a^b f(t)dt$ et $\int_a^b g(t)dt$ sont de même nature (soit toutes deux convergentes, soit toutes deux divergentes).

• L’intégrale $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha}dx$ converge si et seulement si $\alpha > 1$.
• L’intégrale $\int_0^1 \frac{1}{x^\alpha}dx$ converge si et seulement si $\alpha < 1$.

• L’intégrale $\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha (\ln x)^\beta}dx$ (avec $a>1$) converge si et seulement si ($\alpha > 1$) ou ($\alpha=1$ et $\beta > 1$).
• L’intégrale $\int_0^a \frac{1}{x^\alpha |\ln x|^\beta}dx$ (avec $0 1$).