Définitions
Soit $f$ une fonction réelle définie sur un intervalle $]a, b[$. On dit que $f$ est localement intégrable sur $]a, b[$ si elle est intégrable au sens de Riemann sur tout intervalle fermé borné $[\alpha, \beta]$ inclus dans $]a, b[$.
Remarque : Toute fonction continue sur un intervalle I y est localement intégrable.
Soit $f$ une fonction localement intégrable sur un intervalle $[a, b[$.
- On dit que l’intégrale $\int_a^b f(t)dt$ est convergente si la limite $\lim_{x \to b^-} \int_a^x f(t)dt$ existe et est finie.
- Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale est divergente.
- Si elle converge, on pose : $\int_a^b f(t)dt = \lim_{x \to b^-} \int_a^x f(t)dt$.
La définition est analogue pour une fonction définie sur $]a, b]$. Pour un intervalle ouvert $]a, b[$, l’intégrale $\int_a^b f(t)dt$ converge si, pour un point quelconque $c \in ]a,b[$, les deux intégrales $\int_a^c f(t)dt$ et $\int_c^b f(t)dt$ sont convergentes.
Propriétés des Intégrales Généralisées
Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b[$ (avec $b$ fini). Si $f$ est prolongeable par continuité en $b$, alors l’intégrale $\int_a^b f(t)dt$ est convergente. On parle dans ce cas de « fausse » intégrale généralisée.
Si les intégrales généralisées $\int_a^b f(t)dt$ et $\int_a^b g(t)dt$ sont convergentes, alors pour tous réels $\alpha, \beta$, l’intégrale $\int_a^b (\alpha f(t) + \beta g(t))dt$ est convergente et on a : $$ \int_a^b (\alpha f(t) + \beta g(t))dt = \alpha \int_a^b f(t)dt + \beta \int_a^b g(t)dt $$
L’intégrale généralisée $\int_a^b f(t)dt$ est convergente si et seulement si pour tout $c \in ]a,b[$, les intégrales $\int_a^c f(t)dt$ et $\int_c^b f(t)dt$ sont convergentes. On a alors : $$ \int_a^b f(t)dt = \int_a^c f(t)dt + \int_c^b f(t)dt $$