Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$ et $\varphi: [\alpha, \beta] \to [a,b]$ une fonction de classe $C^1$ telle que $\varphi(\alpha)=a$ et $\varphi(\beta)=b$. Alors : $$ \int_a^b f(x)dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)dt $$ La transformation $x = \varphi(t)$ est appelée un changement de variable.
Démonstration
Soit $F$ une primitive de $f$. La dérivée de la fonction composée $F \circ \varphi$ est $(F \circ \varphi)'(t) = F'(\varphi(t))\varphi'(t) = f(\varphi(t))\varphi'(t)$. En intégrant cette expression de $\alpha$ à $\beta$, on obtient : $$ \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)dt = [F(\varphi(t))]_\alpha^\beta = F(\varphi(\beta)) – F(\varphi(\alpha)) = F(b) – F(a) $$ Ce qui est, par définition, égal à $\int_a^b f(x)dx$.
Remarques Pratiques
- Pour effectuer un changement de variable $x=\varphi(t)$, il faut effectuer trois substitutions : remplacer $x$ par $\varphi(t)$, remplacer $dx$ par $\varphi'(t)dt$, et remplacer les bornes d’intégration $a$ et $b$ par les nouvelles bornes $\alpha$ et $\beta$.
- Pour le calcul de primitives (intégrales indéfinies), la formule s’écrit : $$ \int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt = F(\varphi(t)) + C $$
Exemples
1. Calcul de $I = \int_0^1 \sqrt{1-t^2}dt$
On pose le changement de variable $t = \sin(x)$. Alors $dt = \cos(x)dx$. Les bornes changent : si $t=0$, $x=0$ ; si $t=1$, $x=\pi/2$.
$$ I = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1-\sin^2 x} \cos x \, dx = \int_0^{\pi/2} \cos^2 x \, dx $$ $$ = \int_0^{\pi/2} \frac{1+\cos(2x)}{2} dx = \left[ \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} \right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{4} $$2. Calcul de $J = \int \frac{\sin x}{1+\cos^2 x}dx$
On pose $t = \cos x$. Alors $dt = -\sin x \, dx$.
$$ J = \int \frac{-dt}{1+t^2} = -\arctan(t) + C = -\arctan(\cos x) + C $$Soit $a > 0$ et $f$ une fonction continue sur $[-a, a]$.
- Si $f$ est paire, alors $\int_{-a}^a f(t)dt = 2\int_0^a f(t)dt$.
- Si $f$ est impaire, alors $\int_{-a}^a f(t)dt = 0$.