Soient $u$ et $v$ deux fonctions de classe $C^1$ (continûment dérivables) sur un segment $[a, b]$. Alors, on a la formule suivante : $$ \int_a^b u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b – \int_a^b u'(x)v(x)dx $$
Démonstration
La formule de dérivation d’un produit nous donne $(uv)'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$. En intégrant cette égalité entre $a$ et $b$, on obtient : $$ \int_a^b (uv)'(x)dx = \int_a^b u'(x)v(x)dx + \int_a^b u(x)v'(x)dx $$ D’après le théorème fondamental de l’analyse, le terme de gauche est égal à $[u(x)v(x)]_a^b$. En réarrangeant les termes, on obtient la formule de l’intégration par parties.
Exemple
Calculons $\int_1^x \ln(t)dt$.
On pose $u(t) = \ln(t)$ et $v'(t) = 1$. On a alors $u'(t) = 1/t$ et $v(t) = t$. En appliquant la formule : $$ \int_1^x \ln(t)dt = [\ln(t) \cdot t]_1^x – \int_1^x \frac{1}{t} \cdot t \, dt $$ $$ = (x\ln x – 1\ln 1) – \int_1^x 1 \, dt = x\ln x – [t]_1^x = x\ln x – (x-1) $$ Le résultat est donc $x\ln x – x + 1$.