La Matrice de Gram : Calcul et Application
La matrice de Gram d’une famille de vecteurs $(v_1, \dots, v_n)$ dans un espace euclidien est une matrice carrée qui contient tous les produits scalaires entre les vecteurs de la famille. C’est une sorte de « carte d’identité » de la géométrie de la famille, car elle encode toutes les longueurs et tous les angles entre ses vecteurs.
Soit $(v_1, \dots, v_n)$ une famille de vecteurs d’un espace euclidien $E$ muni d’un produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$. La matrice de Gram de cette famille, notée $G(v_1, \dots, v_n)$, est la matrice de taille $n \times n$ dont le coefficient à la ligne $i$ et la colonne $j$ est :
$G_{ij} = \langle v_i, v_j \rangle$
Par symétrie du produit scalaire, la matrice de Gram est toujours une matrice symétrique.
Exemple 1 : Dans $\mathbb{R}^2$ avec le produit scalaire usuel
Soit la famille $(v_1, v_2)$ avec $v_1 = (1, 2)$ et $v_2 = (-1, 3)$.
$G_{11} = \langle v_1, v_1 \rangle = 1^2 + 2^2 = 5$.
$G_{12} = \langle v_1, v_2 \rangle = 1(-1) + 2(3) = 5$.
$G_{21} = \langle v_2, v_1 \rangle = -1(1) + 3(2) = 5$.
$G_{22} = \langle v_2, v_2 \rangle = (-1)^2 + 3^2 = 10$.
La matrice de Gram est $G = \begin{pmatrix} 5 & 5 \\ 5 & 10 \end{pmatrix}$.
Exemple 2 : Dans $\mathbb{R}^3$ avec une famille de 3 vecteurs
Soit $(v_1, v_2, v_3)$ avec $v_1=(1,0,1)$, $v_2=(0,1,1)$ et $v_3=(1,1,0)$.
$\langle v_1, v_1 \rangle = 2$, $\langle v_2, v_2 \rangle = 2$, $\langle v_3, v_3 \rangle = 2$.
$\langle v_1, v_2 \rangle = 1$.
$\langle v_1, v_3 \rangle = 1$.
$\langle v_2, v_3 \rangle = 1$.
La matrice de Gram est $G = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$.
Exemple 3 : Sur un espace de polynômes
Soit $E=\mathbb{R}_1[X]$ avec le produit scalaire $\langle P,Q \rangle = \int_0^1 P(t)Q(t) dt$.
On considère la base canonique $(P_1, P_2)$ avec $P_1(t)=1$ et $P_2(t)=t$.
$G_{11} = \langle 1, 1 \rangle = \int_0^1 1 \cdot 1 dt = [t]_0^1 = 1$.
$G_{12} = \langle 1, t \rangle = \int_0^1 t dt = [\frac{t^2}{2}]_0^1 = \frac{1}{2}$.
$G_{21} = G_{12} = \frac{1}{2}$.
$G_{22} = \langle t, t \rangle = \int_0^1 t^2 dt = [\frac{t^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{3}$.
La matrice de Gram est $G = \begin{pmatrix} 1 & 1/2 \\ 1/2 & 1/3 \end{pmatrix}$.
Le déterminant de la matrice de Gram, appelé déterminant de Gram, est un outil très puissant.
- Test de liberté : Une famille de vecteurs $(v_1, \dots, v_n)$ est libre si et seulement si son déterminant de Gram est strictement positif. Elle est liée si et seulement si son déterminant de Gram est nul.
- Calcul de distances : La distance d’un vecteur $u$ au sous-espace $F = \text{Vect}(v_1, \dots, v_n)$ est donnée par la formule :
$d(u,F)^2 = \frac{\det G(v_1, \dots, v_n, u)}{\det G(v_1, \dots, v_n)}$.
La matrice de Gram est aussi la matrice du produit scalaire lui-même, restreint au sous-espace engendré par la famille.