La Méthode des Cofacteurs pour le Calcul de Déterminant
Le développement par rapport à une ligne ou une colonne (ou méthode des cofacteurs) est une technique récursive qui permet de calculer le déterminant de n’importe quelle matrice carrée. Elle ramène le calcul du déterminant d’une matrice de taille $n \times n$ à plusieurs calculs de déterminants de taille $(n-1) \times (n-1)$.
Soit $A$ une matrice carrée de taille $n \times n$.
- Le mineur de l’élément $a_{ij}$ (situé à la ligne $i$ et colonne $j$), noté $M_{ij}$, est le déterminant de la sous-matrice obtenue en supprimant la $i$-ème ligne et la $j$-ème colonne de $A$.
- Le cofacteur de l’élément $a_{ij}$, noté $C_{ij}$, est le mineur affecté d’un signe :
$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$.
Le signe $(-1)^{i+j}$ suit un motif en damier : $\begin{pmatrix} + & – & + & \dots \\ – & + & – & \dots \\ + & – & + & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}$.
Le déterminant de $A$ peut être calculé en choisissant n’importe quelle ligne ou n’importe quelle colonne :
- Développement selon la ligne $i$ :
$\det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \dots + a_{in}C_{in}$. - Développement selon la colonne $j$ :
$\det(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij} = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + \dots + a_{nj}C_{nj}$.
Astuce : Pour minimiser les calculs, on choisit toujours la ligne ou la colonne qui contient le plus de zéros !
Exemple 1 : Calcul d’un déterminant 3×3
Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$. Développons selon la première ligne.
$\det(A) = 1 \cdot C_{11} + 2 \cdot C_{12} + 3 \cdot C_{13}$.
$C_{11} = (-1)^{1+1} \det\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{pmatrix} = 1 \cdot (45 – 48) = -3$.
$C_{12} = (-1)^{1+2} \det\begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{pmatrix} = -1 \cdot (36 – 42) = 6$.
$C_{13} = (-1)^{1+3} \det\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = 1 \cdot (32 – 35) = -3$.
$\det(A) = 1(-3) + 2(6) + 3(-3) = -3 + 12 – 9 = 0$.
Le déterminant est nul, ce qui signifie que les colonnes (et les lignes) de la matrice sont linéairement dépendantes.
Exemple 2 : L’importance de choisir la bonne ligne/colonne
Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 4 \\ 5 & 0 & 3 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}$. La colonne 3 a le plus de zéros. Développons selon la colonne 3.
$\det(A) = a_{13}C_{13} + a_{23}C_{23} + a_{33}C_{33} + a_{43}C_{43}$.
Comme $a_{13}=0$ et $a_{33}=0$, on a seulement deux termes à calculer :
$\det(A) = 3 \cdot C_{23} + 1 \cdot C_{43}$.
$C_{23} = (-1)^{2+3} \det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ -1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} = -1 \cdot (1(4-6) – 2(-4-4) + 4(-3-2)) = -1(-2 + 16 – 20) = 6$.
$C_{43} = (-1)^{4+3} \det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 5 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$. Développons ce 3×3 selon sa 2ème ligne :
$= -1 \cdot [ -5 \cdot \det\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} ] = 5(4-4) = 0$.
$\det(A) = 3 \cdot (6) + 1 \cdot (0) = 18$.
Exemple 3 : Matrice triangulaire
Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 & 6 \\ 0 & 4 & 8 & 9 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$.
Développons selon la première colonne :
$\det(A) = 2 \cdot C_{11} + 0 + 0 + 0 = 2 \cdot (-1)^{1+1} \det\begin{pmatrix} 4 & 8 & 9 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 7 \end{pmatrix}$.
On recommence, en développant le déterminant 3×3 selon sa première colonne :
$\det(A) = 2 \cdot [ 4 \cdot (-1)^{1+1} \det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} ] = 2 \cdot 4 \cdot (1 \cdot 7 – 0 \cdot 2) = 2 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 7 = 56$.
On retrouve bien la règle connue : le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit de ses éléments diagonaux.