1. Projection sur une droite
On considère la figure suivante :
- La droite (D) présente le sens des rayons issus du soleil (S).
- La droite ($\Delta$) présente le sol.
- Représenter sur la droite ($\Delta$) les points $A’$, $B’$ et $C’$ les ombres de A, B et C respectivement.
- Quelle est l’ombre des segments [AB] et [BC]?
1.1 Projection sur une droite parallèlement à une droite
Soient (D) et ($\Delta$) deux droites sécantes et soient M et $M’$ deux points du plan tels que $M’ \in (D)$ et $(MM’) // (\Delta)$. Le point M’ s’appelle le projeté du point M sur la droite (D) parallèlement à la droite ($\Delta$) et on écrit $P_{(D)//(\Delta)}(M) = M’$.
Si $M \in (D)$ alors le projeté du point M sur la droite (D) est lui-même; on dit que le point est invariant.
1.2 Cas particulier : projection orthogonale
Soient ($\Delta$) et (D) deux droites perpendiculaires et soient M et M’ deux points du plan. Soit M’ le projeté du point M sur la droite (D) parallèlement à la droite ($\Delta$). M’ s’appelle le projeté orthogonal du point M sur la droite (D).
On considère une figure où F’, E’ et D’ sont les projetés des points F, E et D sur (AC) respectivement.
- Montrer que $(FF’) // (EE’)$.
- Montrer que DFF’D’ est un trapèze.
2. Théorème de Thalès
2.1 Théorème de Thalès direct
Soient $(D_1)$ et $(D_2)$ deux droites sécantes en un point A. Soient B et M deux points de $(D_1)$ distincts de A. Soient C et N deux points de $(D_2)$ distincts de A.
Si $(MN) // (BC)$ alors $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$
L’écriture vectorielle du théorème de Thalès direct :
Si les points A, B et M sont alignés et les points A, C et N, aussi, sont alignés; alors il existe un nombre réel non nul k tel que : $\vec{AM} = k \cdot \vec{AB}$ et $\vec{AN} = k \cdot \vec{AC}$ et $\vec{MN} = k \cdot \vec{BC}$.
2.2 Réciproque du théorème de Thalès
Soient $(D_1)$ et $(D_2)$ deux droites sécantes en un point A. Soient B et M deux points de $(D_1)$ distincts de A. Soient C et N deux points de $(D_2)$ distincts de A.
Si les points A, B, M et les points A, C, N sont alignés dans le même ordre et si $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$ alors $(MN) // (BC)$.
3. Conservation du coefficient de colinéarité
Soient (D) et ($\Delta$) deux droites sécantes et soient $\vec{AB}$ et $\vec{CD}$ deux vecteurs colinéaires, alors il existe un nombre réel non nul $k$ tel que $\vec{AB} = k \cdot \vec{CD}$. Si A’, B’, C’ et D’ sont respectivement les projetés des points A, B, C et D sur (D) parallèlement à ($\Delta$) alors $\vec{A’B’} = k \cdot \vec{C’D’}$.
On dit que la projection conserve le coefficient de colinéarité.
Soit ABC un triangle et soient D un point de la droite (BC) ($D \notin [BC]$) et O un point du plan tel que $\vec{AO} = \frac{3}{4}\vec{AD}$.
Soient E et F deux points du plan tels que : E est le projeté du point D sur la droite (AC) parallèlement à la droite (OC), et F est le projeté du point D sur la droite (AB) parallèlement à la droite (OB).
- Montrer que $\vec{AC} = \frac{3}{4}\vec{AE}$.
- Montrer que $\vec{AB} = \frac{3}{4}\vec{AF}$.
- Montrer que $(EF) // (BC)$.