L’Adjoint d’un Endomorphisme : Calcul et Propriétés
Dans un espace euclidien, chaque endomorphisme $f$ possède un « compagnon » unique appelé son adjoint, noté $f^*$. Cet adjoint est défini par sa relation avec $f$ à travers le produit scalaire. C’est la généralisation naturelle de la matrice transposée à l’univers des applications linéaires.
Soit $f$ un endomorphisme d’un espace euclidien $E$. Son adjoint $f^*$ est l’unique endomorphisme de $E$ qui vérifie :
$\forall u, v \in E, \quad \langle f(u), v \rangle = \langle u, f^*(v) \rangle$
La méthode pratique : Si $A$ est la matrice de $f$ dans une base orthonormale $\mathcal{B}$, alors la matrice de son adjoint $f^*$ dans cette même base est la matrice transposée $A^T$.
$M_{\mathcal{B}}(f^*) = (M_{\mathcal{B}}(f))^T$.
Exemple 1 : Endomorphisme de $\mathbb{R}^2$
Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ défini par $f(x,y) = (x+3y, 2x-y)$.
1. Matrice de $f$ dans la base canonique (qui est orthonormale) :
$f(1,0)=(1,2)$ et $f(0,1)=(3,-1)$.
$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$.
2. Matrice de l’adjoint $f^*$ :
La matrice de $f^*$ est $A^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$.
3. Formule de $f^*$ :
$f^*(x,y)$ est donné par $A^T \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+2y \\ 3x-y \end{pmatrix}$.
Donc, $f^*(x,y) = (x+2y, 3x-y)$.
Exemple 2 : Endomorphisme de $\mathbb{R}^3$
Soit $g$ l’endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice dans la base canonique est $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ -2 & -3 & 0 \end{pmatrix}$.
La base canonique est orthonormale. La matrice de l’adjoint $g^*$ est donc directement la transposée de $A$.
$M(g^*) = A^T = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & -3 \\ 2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$.
Cet endomorphisme est dit antisymétrique car $g^* = -g$.
Exemple 3 : Le piège de la base non-orthonormale
Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^2$ et la base $\mathcal{B}=((1,0),(1,1))$. Cette base n’est pas orthonormale.
Supposons que la matrice de $f$ dans cette base soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$.
La matrice de l’adjoint $f^*$ dans la base $\mathcal{B}$ n’est PAS la transposée de $A$. Pour trouver la matrice de $f^*$, il faudrait :
1. Trouver la matrice de $f$ dans la base canonique (orthonormale) via des matrices de passage.
2. Transposer cette nouvelle matrice.
3. Revenir à la base $\mathcal{B}$ avec les matrices de passage inverses.
Ceci illustre l’importance cruciale de travailler dans une base orthonormale pour que la relation entre adjoint et transposée soit directe.
L’adjoint est la clé de voûte de la classification des endomorphismes en géométrie euclidienne.
- Un endomorphisme est symétrique (ou autoadjoint) si $f = f^*$.
- Un endomorphisme est antisymétrique si $f = -f^*$.
- Un endomorphisme est orthogonal si $f^*f = \text{Id}$ (c’est-à-dire $f^* = f^{-1}$).
- Relations entre sous-espaces : L’adjoint connecte le noyau et l’image de manière orthogonale :
$\text{Ker}(f^*) = (\text{Im}(f))^\perp$
$\text{Im}(f^*) = (\text{Ker}(f))^\perp$