Prouver qu’une suite converge est l’un des objectifs les plus importants de l’analyse. Cela signifie montrer que les termes de la suite se rapprochent indéfiniment d’une valeur finie, sa limite. Il n’existe pas une seule méthode, mais plutôt une boîte à outils de théorèmes puissants, chacun adapté à une situation particulière.
Une suite $(u_n)$ converge vers une limite réelle $L$ si, pour tout intervalle ouvert centré en $L$, aussi petit soit-il, tous les termes de la suite finissent par appartenir à cet intervalle à partir d’un certain rang.
Formellement : $\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} \text{ tel que } \forall n \ge N, |u_n – L| < \varepsilon$.
Méthode 1 : Le Théorème de la Convergence Monotone
C’est souvent le théorème le plus puissant et le plus utilisé, surtout pour les suites récurrentes. Il se résume en deux points :
- Toute suite croissante et majorée est convergente.
- Toute suite décroissante et minorée est convergente.
La stratégie est donc simple : 1. Prouver la monotonie de la suite (croissante ou décroissante). 2. Prouver qu’elle est bornée (majorée si elle est croissante, minorée si elle est décroissante).
Exemple-type : $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$. On montre par récurrence que $0 \le u_n \le 2$ (bornée) et on étudie le signe de $u_{n+1} – u_n$ pour montrer qu’elle est croissante. Le théorème s’applique et la suite converge (vers 2).
Méthode 2 : Le Théorème d’Encadrement (ou « des Gendarmes »)
Si l’on peut « coincer » notre suite entre deux autres suites qui convergent vers la même limite, alors notre suite est obligée de converger vers cette même limite.
Théorème : Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites. Si, à partir d’un certain rang, on a $v_n \le u_n \le w_n$ et que $\lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} w_n = L$, alors $\lim_{n \to \infty} u_n = L$.
Exemple-type : $u_n = \frac{\sin(n)}{n}$ pour $n \ge 1$. On sait que $-1 \le \sin(n) \le 1$.
Donc, $-\frac{1}{n} \le \frac{\sin(n)}{n} \le \frac{1}{n}$.
Comme $\lim_{n \to \infty} -\frac{1}{n} = 0$ et $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$, on conclut par le théorème des gendarmes que $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$.
Méthode 3 : Calcul Direct et Croissances Comparées
La méthode la plus évidente : si l’on peut calculer directement la limite de l’expression de $u_n$ et que le résultat est un nombre réel fini, la suite converge.
Cela fait appel aux techniques classiques de calcul de limites :
- Suites rationnelles : On met en facteur les termes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.
- Croissances comparées : On utilise les relations comme $\lim_{x\to\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ ou $\lim_{x\to\infty} \frac{x}{e^x} = 0$.
Exemple-type : $u_n = \frac{3n^2 – 4n}{2n^2 + 5n + 1}$.
$\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2(3 – 4/n)}{n^2(2 + 5/n + 1/n^2)} = \frac{3}{2}$. La suite converge vers 3/2.
- Suites adjacentes : Si une suite est croissante, une autre décroissante, et que la limite de leur différence est nulle, alors elles convergent toutes les deux vers la même limite.
- Toute suite convergente est bornée : C’est une conséquence directe de la définition. Si une suite ne converge pas, soit elle diverge vers $\pm\infty$, soit elle n’a pas de limite (ex: $(-1)^n$). Dans le premier cas, elle n’est pas bornée.
- Opérations sur les limites : Si $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent, alors $(u_n + v_n)$, $(u_n \times v_n)$ et $(u_n / v_n)$ (si la limite de $v_n$ n’est pas nulle) convergent aussi, et leurs limites sont les sommes, produits ou quotients des limites.