Le Noyau d’un Morphisme est un Sous-Groupe
Nous avons défini le noyau d’un morphisme $f: G \to H$ comme l’ensemble des éléments de $G$ envoyés sur l’élément neutre de $H$. Cette structure n’est pas un simple sous-ensemble ; elle hérite de la structure de groupe de son espace de départ, $G$.
Soit $f: (G, \star) \to (H, \bullet)$ un morphisme de groupes.
Le noyau de $f$, $\ker(f)$, est un sous-groupe de $G$.
Démonstration
Pour démontrer que $\ker(f)$ est un sous-groupe de $G$, nous allons utiliser la caractérisation des sous-groupes. Nous devons vérifier deux points :
- Le noyau est non vide.
- Pour tous $x, y \in \ker(f)$, le composé $x \star y’$ est encore dans $\ker(f)$.
1. Le noyau est non vide
Un morphisme de groupes envoie toujours l’élément neutre sur l’élément neutre. On a donc $f(e_G) = e_H$.
Par définition du noyau, cela signifie que $e_G \in \ker(f)$.
Le noyau contient au moins l’élément neutre, il n’est donc pas vide.
2. Stabilité par $x \star y’$
Soient $x$ et $y$ deux éléments quelconques de $\ker(f)$. Par définition, cela signifie que : $$ f(x) = e_H \quad \text{et} \quad f(y) = e_H $$ Nous voulons montrer que $x \star y’$ appartient aussi à $\ker(f)$. Pour cela, calculons son image par $f$ : $$ f(x \star y’) $$ Comme $f$ est un morphisme, il respecte la loi de composition et les symétriques : $$ f(x \star y’) = f(x) \bullet f(y’) = f(x) \bullet (f(y))’ $$ Nous savons que $f(x) = e_H$ et $f(y) = e_H$. Remplaçons ces valeurs : $$ f(x \star y’) = e_H \bullet (e_H)’ = e_H \bullet e_H = e_H $$ L’image de $x \star y’$ par $f$ est bien l’élément neutre de $H$. Par conséquent, $x \star y’$ appartient à $\ker(f)$.
Conclusion : Les deux conditions de la caractérisation sont vérifiées. Le noyau $\ker(f)$ est bien un sous-groupe de $G$.