Le Polynôme Caractéristique : Comment le Calculer Sans Erreur
Le polynôme caractéristique d’une matrice carrée $A$ est un polynôme dont les racines sont précisément les valeurs propres de $A$. C’est un outil central en algèbre linéaire. Son calcul peut vite devenir complexe, mais quelques méthodes et astuces permettent de le trouver de manière fiable.
Pour une matrice carrée $A$ de taille $n \times n$, son polynôme caractéristique, noté $\chi_A(X)$, est défini par :
$\chi_A(X) = \det(A – XI_n)$
Il s’agit de calculer le déterminant de la matrice $A$ à laquelle on a soustrait $X$ sur la diagonale.
Exemple 1 : Le cas simple des matrices 2×2
Pour une matrice $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, le calcul est direct et il existe une formule très pratique.
$\chi_A(X) = \det\begin{pmatrix} a-X & b \\ c & d-X \end{pmatrix} = (a-X)(d-X) – bc = X^2 – (a+d)X + (ad-bc)$.
On reconnaît la trace et le déterminant de A. La formule à retenir est :
$\chi_A(X) = X^2 – \text{tr}(A)X + \det(A)$.
Application : Soit $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$.
$\text{tr}(A) = 4+3=7$.
$\det(A) = 4 \cdot 3 – 1 \cdot 2 = 10$.
$\chi_A(X) = X^2 – 7X + 10 = (X-2)(X-5)$. Les valeurs propres sont 2 et 5.
Exemple 2 : Méthode pour les matrices 3×3
Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$.
Méthode 1 : Simplification avant calcul (la plus sûre).
On veut calculer $\det(A-XI) = \det\begin{pmatrix} 2-X & -1 & -1 \\ 0 & 3-X & 0 \\ -1 & -1 & 2-X \end{pmatrix}$.
La deuxième ligne est parfaite pour un développement par cofacteurs !
$\chi_A(X) = (3-X) \cdot C_{22} = (3-X) (-1)^{2+2} \det\begin{pmatrix} 2-X & -1 \\ -1 & 2-X \end{pmatrix}$
$\chi_A(X) = (3-X) [ (2-X)^2 – (-1)(-1) ] = (3-X) [ (X^2-4X+4) – 1 ]$
$\chi_A(X) = (3-X) (X^2-4X+3)$.
On reconnaît que $X^2-4X+3 = (X-1)(X-3)$.
Finalement, $\chi_A(X) = -(X-3)^2(X-1)$. Les valeurs propres sont 3 (double) et 1 (simple).
Méthode 2 : Formule pour les 3×3 (plus rapide mais plus risquée).
$\chi_A(X) = -X^3 + \text{tr}(A)X^2 – (M_{11}+M_{22}+M_{33})X + \det(A)$.
– $\text{tr}(A) = 2+3+2=7$.
– $M_{11}+M_{22}+M_{33} = \det\begin{pmatrix}3&0\\-1&2\end{pmatrix} + \det\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix} + \det\begin{pmatrix}2&-1\\0&3\end{pmatrix} = 6 + (4-1) + 6 = 15$.
– $\det(A) = 2(6) – (-1)(0) + (-1)(3) = 12-3=9$.
$\chi_A(X) = -X^3 + 7X^2 – 15X + 9$. En testant les racines évidentes (diviseurs de 9), on trouve que 1 et 3 sont racines, ce qui mène à la même factorisation.
Exemple 3 : Matrices 4×4 et plus (stratégie obligatoire)
Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
Calculer $\det(A-XI)$ directement serait un cauchemar. Il faut créer des zéros en utilisant des opérations sur les lignes et les colonnes.
$A-XI = \begin{pmatrix} 1-X & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1-X & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1-X & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1-X \end{pmatrix}$.
On fait l’opération $L_3 \leftarrow L_3 – L_1$ (ne change pas le déterminant).
$\begin{pmatrix} 1-X & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1-X & 0 & 1 \\ X & 0 & -X & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1-X \end{pmatrix}$.
Puis l’opération $L_4 \leftarrow L_4 – L_2$.
$\begin{pmatrix} 1-X & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1-X & 0 & 1 \\ X & 0 & -X & 0 \\ 0 & X & 0 & -X \end{pmatrix}$.
On peut factoriser $X$ dans $L_3$ et $L_4$.
$\chi_A(X) = X^2 \det\begin{pmatrix} 1-X & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1-X & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$.
Maintenant, on peut développer. Le calcul est beaucoup plus simple et on trouve $\chi_A(X) = X^2(X-2)^2$.
Les valeurs propres sont 0 et 2, toutes deux de multiplicité 2.