Le théorème de Lagrange

Le Théorème de Lagrange

Le théorème de Lagrange est un résultat absolument central en théorie des groupes finis. Il établit une relation fondamentale entre l’ordre (le nombre d’éléments) d’un groupe et l’ordre de n’importe lequel de ses sous-groupes. Il impose une contrainte arithmétique très forte sur les structures possibles des sous-groupes.

Idée de la Démonstration

La preuve du théorème repose sur l’idée de partitionner le groupe $G$ en utilisant les « classes » associées au sous-groupe $H$. On montre que toutes ces classes ont le même nombre d’éléments que $H$, et qu’elles forment une partition de $G$. L’ordre de $G$ est donc un multiple de l’ordre de $H$.

Conséquences Fondamentales

• L’ordre d’un élément divise l’ordre du groupe.
  Soit $x$ un élément d’un groupe fini $G$. L’ordre de $x$ est égal à l’ordre du sous-groupe cyclique $\langle x \rangle$ qu’il engendre. Par le théorème de Lagrange, $|\langle x \rangle|$ divise $|G|$, donc $o(x)$ divise $|G|$.
• Tout groupe d’ordre premier est cyclique.
  Soit $G$ un groupe d’ordre $p$, où $p$ est un nombre premier. Soit $x \in G$ un élément différent du neutre. L’ordre de $x$ doit diviser $p$. Comme $p$ est premier et $o(x) \neq 1$, on a forcément $o(x) = p$. Le sous-groupe engendré par $x$ est donc d’ordre $p$, c’est $G$ tout entier. $G$ est donc cyclique.

Exemples et Contre-Exemple

• Soit $G = \mathcal{S}_3$ le groupe des permutations de 3 éléments, d’ordre $|G|=3! = 6$. Les ordres possibles pour ses sous-groupes sont les diviseurs de 6 : 1, 2, 3, 6. Il ne peut pas exister de sous-groupe d’ordre 4 ou 5.
• Attention : La réciproque du théorème de Lagrange est fausse !
  Si $d$ est un diviseur de l’ordre d’un groupe $G$, il n’existe pas nécessairement de sous-groupe d’ordre $d$.
  Le contre-exemple le plus simple est le groupe alterné $A_4$, d’ordre 12. Le nombre 6 divise 12, mais on peut démontrer que $A_4$ n’admet aucun sous-groupe d’ordre 6.