Le lemme d’Urysohn est un résultat clé de la topologie générale. Il établit une propriété fondamentale des espaces topologiques dits « normaux ».
- Un espace topologique est un ensemble muni d’une structure qui permet de définir des notions comme la proximité, la convergence ou la continuité.
- Un espace normal est un espace topologique dans lequel deux ensembles fermés disjoints peuvent être séparés par des voisinages ouverts disjoints.
Soit $X$ un espace topologique normal et $A$ et $B$ deux sous-ensembles fermés disjoints de $X$. Alors il existe une fonction continue $f: X \to [0, 1]$ telle que :
- $f(x) = 0$ pour tout $x \in A$
- $f(x) = 1$ pour tout $x \in B$
Implications et Importance
Le lemme d’Urysohn est un outil puissant qui montre qu’il est possible de séparer non seulement par des ouverts, mais aussi par une fonction continue. Il est souvent considéré comme une version plus forte de la propriété de normalité.
- Fonctions de séparation : Il garantit l’existence de fonctions continues qui séparent deux fermés. Ces fonctions sont essentielles dans de nombreux domaines des mathématiques.
- Théorème de métrisation d’Urysohn : Le lemme est un ingrédient crucial dans la preuve du théorème de métrisation d’Urysohn, qui stipule qu’un espace topologique est métrisable (c’est-à-dire que sa topologie peut être induite par une distance) si et seulement s’il est normal, de Hausdorff et à base dénombrable.
En résumé, le lemme d’Urysohn est un pont entre les propriétés topologiques d’un espace (normalité) et l’existence de fonctions numériques continues, ce qui est fondamental pour l’analyse mathématique.