Les ensembles : $\mathbb{N} ; \mathbb{Z} ; \mathbb{D} ; \mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$ – Cours Tronc commun Science

Cours : Les Ensembles de Nombres
Les ensembles : $\mathbb{N} ; \mathbb{Z} ; \mathbb{D} ; \mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$
Définitions des ensembles
  • $\checkmark$ Ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ : $\mathbb{N}=\{0,1,2,3, \ldots\}$.
  • $\checkmark$ Ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$ : $\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2, \ldots\}$.
  • $\checkmark$ Ensemble des nombres décimaux $\mathbb{D}$ : $\mathbb{D} = \left\{\frac{a}{10^p} / a \in \mathbb{Z} \text{ et } p \in \mathbb{N}\right\}$.
  • $\checkmark$ Ensemble des nombres rationnels $\mathbb{Q}$ : $\mathbb{Q}=\left\{\dfrac{a}{b} / a \in \mathbb{Z} \text{ et } b \in \mathbb{N}^{*}\right\}$.
  • $\checkmark$ Ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ : C’est l’ensemble des nombres rationnels et irrationnels (comme $\pi, \sqrt{2}$).
Application 1 : Appartenance et Inclusion

Compléter avec le symbole correct : $\in$ (appartient à), $\notin$ (n’appartient pas à), $\subset$ (est inclus dans), $\not\subset$ (n’est pas inclus dans).

1. $-7 \ldots \mathbb{Z}$     2. $\sqrt{3} \ldots \mathbb{Q}$     3. $\mathbb{N} \ldots \mathbb{Z}$     4. $\dfrac{5}{2} \ldots \mathbb{D}$     5. $\mathbb{R} \ldots \mathbb{Q}$

Correction

1. $-7 \in \mathbb{Z}$ (car -7 est un entier relatif).

2. $\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}$ (car $\sqrt{3}$ est un nombre irrationnel).

3. $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ (car tout entier naturel est aussi un entier relatif).

4. $\dfrac{5}{2} = 2.5 = \dfrac{25}{10^1}$, donc $\dfrac{5}{2} \in \mathbb{D}$.

5. $\mathbb{R} \not\subset \mathbb{Q}$ (c’est l’inverse, $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$, car il y a des nombres réels qui ne sont pas rationnels).

Inclusions

On a les inclusions suivantes : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

Le symbole ‘$\subset$’ se lit « est inclus dans ».

II. Les opérations dans $\mathbb{R}$

Propriétés des fractions
Soient $a, b, c$ et $d$ des nombres réels. On a :
  • $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd} \quad (b \neq 0, d \neq 0)$
  • $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd} \quad (b \neq 0, d \neq 0)$
  • $\dfrac{1}{\frac{a}{b}} = \dfrac{b}{a} \quad (a \neq 0, b \neq 0)$
  • $\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c} \quad (b \neq 0, d \neq 0, c \neq 0)$
Application 2 : Calcul de fractions

Calculer et simplifier l’expression suivante : $A = \dfrac{\frac{3}{2} – \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{8}}$

Correction

On calcule d’abord le numérateur :

$\dfrac{3}{2} – \dfrac{1}{4} = \dfrac{3 \times 2}{2 \times 2} – \dfrac{1}{4} = \dfrac{6}{4} – \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}$

On calcule ensuite le dénominateur :

$1 + \dfrac{1}{8} = \dfrac{8}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{9}{8}$

On effectue la division :

$A = \dfrac{\frac{5}{4}}{\frac{9}{8}} = \dfrac{5}{4} \times \dfrac{8}{9} = \dfrac{5 \times (4 \times 2)}{4 \times 9} = \dfrac{10}{9}$

III. Puissances – Écriture scientifique

Écriture Scientifique
Soit $x$ un nombre décimal non nul. L’écriture $x = a \times 10^n$ avec $1 \le |a| < 10$ et $n \in \mathbb{Z}$ est appelée l’écriture scientifique de $x$.
Application 3 : Écriture scientifique

Donner l’écriture scientifique du nombre $B = \dfrac{25 \times 10^{-3} \times 12 \times 10^7}{4 \times 10^2}$.

Correction

On regroupe les nombres et les puissances de 10 :

$B = \dfrac{25 \times 12}{4} \times \dfrac{10^{-3} \times 10^7}{10^2}$

$B = \dfrac{300}{4} \times \dfrac{10^{-3+7}}{10^2} = 75 \times \dfrac{10^4}{10^2}$

$B = 75 \times 10^{4-2} = 75 \times 10^2$

Ce n’est pas encore l’écriture scientifique. On écrit 75 en écriture scientifique : $75 = 7,5 \times 10^1$.

$B = (7,5 \times 10^1) \times 10^2 = 7,5 \times 10^{1+2} = 7,5 \times 10^3$.

IV. Racines carrées

Propriétés des racines carrées
Soient $a \in \mathbb{R}^{+}$ et $b \in \mathbb{R}^{+}$. On a :
  • $\sqrt{a^{2}}=(\sqrt{a})^{2}=a$
  • $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{ab}$
  • $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}} \quad (b \neq 0)$
  • Pour rendre un dénominateur rationnel : $\dfrac{c}{\sqrt{a}} = \dfrac{c\sqrt{a}}{a}$ et $\dfrac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \dfrac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}$.
Application 4 : Simplification de racines

Simplifier l’expression suivante : $C = 3\sqrt{20} – \sqrt{45} + 2\sqrt{125}$.

Correction

On décompose chaque nombre sous la racine pour faire apparaître des carrés parfaits :

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{2^2 \times 5} = 2\sqrt{5}$

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{3^2 \times 5} = 3\sqrt{5}$

$\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = \sqrt{5^2 \times 5} = 5\sqrt{5}$

On remplace dans l’expression C :

$C = 3(2\sqrt{5}) – 3\sqrt{5} + 2(5\sqrt{5})$

$C = 6\sqrt{5} – 3\sqrt{5} + 10\sqrt{5}$

$C = (6 – 3 + 10)\sqrt{5} = 13\sqrt{5}$

V. Identités remarquables

Identités remarquables
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. On a :
  • $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
  • $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
  • $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$
  • $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
  • $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Application 5 : Factorisation

Factoriser l’expression suivante : $D(x) = (2x-3)^2 – (x+1)^2$.

Correction

On reconnaît l’identité remarquable $a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)$ avec $a = (2x-3)$ et $b = (x+1)$.

$D(x) = [(2x-3) – (x+1)][(2x-3) + (x+1)]$

On supprime les parenthèses à l’intérieur des crochets :

$D(x) = [2x-3-x-1][2x-3+x+1]$

On simplifie chaque facteur :

$D(x) = (x-4)(3x-2)$