1. Définition et Opérations
Soient $(x-1)$, $(x+1)$ et $(x+4)$ les dimensions d’un parallélépipède tel que $x$ est un nombre réel strictement supérieur à 1, et soit $P(x)$ son volume.
Calculer $P(x)$.
L’expression $x^3 + 4x^2 – x – 4$ s’appelle un polynôme de degré 3.
- Les expressions $x^3$, $4x^2$, $-x$ et $-4$ s’appellent les monômes.
- Le nombre 4 est le coefficient du monôme de deuxième degré, -1 est le coefficient du monôme de premier degré et -4 est son terme constant.
- Un monôme de la variable $x$ est une expression de la forme $ax^n$ où $a \in \mathbb{R}$ est le coefficient et $n \in \mathbb{N}$ est le degré du monôme.
- Un polynôme de la variable $x$ est une somme de monômes.
- Le degré d’un polynôme, noté $deg(P(x))$ ou $d^\circ(P(x))$, est celui de son monôme de plus haut degré.
Compléter le tableau suivant :
| Expression | Polynôme ? | $d^\circ(P(x))$ | Coef. de monôme de degré… | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Oui | Non | 2 | 3 | ||
| $x^6 + 24x^2 + \frac{\sqrt{2}}{5}$ | X | 6 | 24 | 0 | |
| $x^4 – |x| + 4$ | X | – | – | – | |
| $2x^2 + \sqrt{x} + 2$ | X | – | – | – | |
| 6 | X | 0 | 0 | 0 | |
| $2(\frac{1}{x})^2 + x$ | X | – | – | – | |
Le polynôme nul ($P(x) = 0$) n’a pas de degré.
2. Opérations sur les polynômes
Deux polynômes sont égaux s’ils ont le même degré et si leurs coefficients respectifs des monômes de même degré sont égaux.
On considère $P(x)$ et $Q(x)$ deux polynômes tels que : $P(x) = 4x^2 – (b-3)x$ et $Q(x) = ax^2 + 2x + c$. Déterminer les réels a, b et c pour que les polynômes $P(x)$ et $Q(x)$ soient égaux.
Soient $P(x)$ et $Q(x)$ deux polynômes non nuls. On a :
$$ d^\circ(P(x) \times Q(x)) = d^\circ(P(x)) + d^\circ(Q(x)) $$Déterminer le degré du polynôme $Q(x)$ puis déterminer sa forme sachant que : $x^4 – 2x^3 + x^2 – 2x = (x^2 + 1)Q(x)$.
3. Racine d’un polynôme et divisibilité
Soit $a$ un nombre réel. On dit que le nombre $a$ est une racine (ou un zéro) d’un polynôme $Q(x)$ si $Q(a) = 0$.
Déterminer la valeur du nombre $a$ pour que 2 soit une racine du polynôme $P(x) = x^3 – 2x^2 + ax + 6$.
Soit $P(x)$ un polynôme non nul de degré $n$ et $a$ un nombre réel.
- Il existe un unique polynôme $Q(x)$ de degré $(n-1)$ tel que $P(x) = (x-a)Q(x) + P(a)$.
- $P(x)$ est divisible par $(x-a)$ si et seulement si $a$ est une racine de $P(x)$ (c’est-à-dire $P(a)=0$).
- $Q(x)$ est appelé le quotient de la division euclidienne de $P(x)$ par $(x-a)$ et $P(a)$ est le reste.
La division euclidienne de $P(x) = 2x^4 + 3x^3 – 2x^2 – x + 1$ par $x-2$.
Le quotient de cette division euclidienne est $2x^3 + 7x^2 + 12x + 23$ et le reste est $P(2) = 47$.
On considère $P(x)$ un polynôme tel que : $P(x) = x^3 – 2x^2 – 5x + 6$.
- Montrer que $P(x)$ est divisible par $x-1$.
- Déterminer par deux méthodes différentes le polynôme $Q(x)$ tel que $P(x) = (x-1)Q(x)$.
- Montrer que 3 est une racine de $Q(x)$.
- Factoriser $Q(x)$.
- En déduire une factorisation de $P(x)$.
- Résoudre l’équation $P(x) = 0$.