Opérations Élémentaires sur les Suites Convergentes
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles. Si $(u_n)$ converge vers $l_1$ et $(v_n)$ converge vers $l_2$, alors :
- La suite somme $(u_n + v_n)$ converge vers $l_1 + l_2$.
- La suite produit $(u_n v_n)$ converge vers $l_1 l_2$.
- La suite $(|u_n|)$ converge vers $|l_1|$.
- Si $l_1 \neq 0$, alors il existe un rang $N$ à partir duquel $u_n \neq 0$, et la suite $(\frac{1}{u_n})_{n \ge N}$ converge vers $\frac{1}{l_1}$.
Démonstration (esquisse)
1. Somme : Soit $\epsilon > 0$. On utilise la définition de la convergence pour trouver des rangs $N_1$ et $N_2$ tels que $|u_n – l_1| < \epsilon/2$ et $|v_n - l_2| < \epsilon/2$. Pour $n \ge \max(N_1, N_2)$, l'inégalité triangulaire donne $|(u_n+v_n) - (l_1+l_2)| \le |u_n-l_1| + |v_n-l_2| < \epsilon$.
2. Produit : On utilise l’identité $|u_n v_n – l_1 l_2| = |u_n(v_n-l_2) + l_2(u_n-l_1)|$. Comme $(u_n)$ est convergente, elle est bornée par un certain $M$. On peut alors majorer le terme de droite par $M|v_n-l_2| + |l_2||u_n-l_1|$, ce qui permet de conclure.
3. Valeur absolue : C’est une conséquence directe de l’inégalité $||u_n| – |l_1|| \le |u_n – l_1|$.
4. Inverse : Si $l_1 \neq 0$, on montre d’abord qu’à partir d’un certain rang, $|u_n| > |l_1|/2$. On peut alors majorer $|\frac{1}{u_n} – \frac{1}{l_1}| = \frac{|l_1 – u_n|}{|u_n||l_1|} \le \frac{2|l_1-u_n|}{|l_1|^2}$, ce qui permet de conclure.
Propriétés d’Ordre des Suites Réelles Convergentes
- Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites convergentes telles que pour tout $n$, $u_n \le v_n$. Alors, leurs limites respectent la même inégalité : $$ \lim_{n\to+\infty} u_n \le \lim_{n\to+\infty} v_n $$
- Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites. Si $\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty$ et si pour tout $n$, $v_n \ge u_n$, alors $\lim_{n\to+\infty} v_n = +\infty$.
Démonstration
Pour le point 1, on pose $w_n = v_n – u_n$. On a $w_n \ge 0$ pour tout $n$. Il suffit de montrer que si une suite positive converge, sa limite est positive. On raisonne par l’absurde : si la limite $l$ de $(w_n)$ était strictement négative, en choisissant $\epsilon = -l/2 > 0$, on pourrait trouver un rang $N$ à partir duquel tous les termes $w_n$ seraient dans l’intervalle $]l-\epsilon, l+\epsilon[ = ]3l/2, l/2[$. Tous ces termes seraient donc strictement négatifs, ce qui contredit l’hypothèse $w_n \ge 0$.
Remarque
- Si une suite $(u_n)$ convergente est à termes positifs ($u_n \ge 0$), alors sa limite est positive ($\lim u_n \ge 0$).
- Attention, une inégalité stricte ne se conserve pas nécessairement par passage à la limite. Par exemple, la suite $u_n = \frac{1}{n+1}$ est à termes strictement positifs, mais sa limite est 0.
Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites réelles telles que $u_n \le v_n \le w_n$ pour tout $n$ (ou à partir d’un certain rang).
- Si $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite finie $l$, alors $(v_n)$ converge également vers $l$.
- Si $(u_n)$ diverge vers $+\infty$, alors $(v_n)$ diverge également vers $+\infty$.
- Si $(w_n)$ diverge vers $-\infty$, alors $(v_n)$ diverge également vers $-\infty$.
Démonstration
Pour le point 1, soit $\epsilon > 0$. Il existe des rangs $N_1$ et $N_2$ tels que pour $n \ge N_1$, $l-\epsilon \le u_n$, et pour $n \ge N_2$, $w_n \le l+\epsilon$. Pour $n \ge \max(N_1, N_2)$, on a donc : $$ l-\epsilon \le u_n \le v_n \le w_n \le l+\epsilon $$ Cela implique $|v_n – l| \le \epsilon$, ce qui prouve la convergence de $(v_n)$ vers $l$.