Les développements limités des fonctions usuelles sont les briques de base de tous les calculs. Il est impératif de les connaître par cœur. Cette fiche se concentre sur les 4 plus importants et donne des astuces pour les retenir.
C’est le DL le plus simple et le plus régulier. Toutes les puissances de $x$ sont présentes, et les coefficients sont les inverses des factorielles. $$e^x = \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} + o(x^n) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$$ Astuce : La dérivée de $e^x$ est $e^x$. Cette formule est cohérente avec la dérivation terme à terme.
Ces deux DL sont liés à celui de $e^x$ via les formules d’Euler. Ils se distinguent par la parité et l’alternance des signes.
- Cosinus (paire) : Ne contient que des puissances paires. Les signes alternent. $$\cos(x) = 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – \dots + (-1)^p \frac{x^{2p}}{(2p)!} + o(x^{2p+1})$$
- Sinus (impaire) : Ne contient que des puissances impaires. Les signes alternent. $$\sin(x) = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \dots + (-1)^p \frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!} + o(x^{2p+2})$$
Ce DL ne contient pas de factorielles. Le dénominateur est simplement $k$. Les signes alternent. $$\ln(1+x) = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} \frac{x^k}{k} + o(x^n) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n)$$ Astuce : Le DL de $\ln(1+x)$ est l' »intégrale » du DL de $\frac{1}{1+x} = 1 – x + x^2 – \dots$
- Ordre de calcul : Lorsque vous combinez des DL, calculez toujours les DL des fonctions usuelles à un ordre suffisant (souvent l’ordre final requis) avant de faire les opérations.
- Parité : Utilisez la parité des fonctions pour vérifier vos formules. Le DL d’une fonction paire ne doit contenir que des puissances paires, et inversement pour une fonction impaire.
- Premiers termes : Les premiers termes sont les plus importants. $\cos(x) \approx 1 – x^2/2$, $\sin(x) \approx x$, $\ln(1+x) \approx x$, $e^x \approx 1+x$. Ces approximations sont souvent suffisantes pour trouver des limites.