Matrice de passage

Matrice de Passage et Changement de Base

Changement de Base

Considérons un K-espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$, et deux bases de cet espace, $\beta = (e_1, \dots, e_n)$ et $\beta’ = (e’_1, \dots, e’_n)$. Chaque vecteur de la « nouvelle » base $\beta’$ peut être exprimé de manière unique comme une combinaison linéaire des vecteurs de l' »ancienne » base $\beta$ : $$ \forall j \in \{1, \dots, n\}, \quad e’_j = \sum_{i=1}^{n} p_{ij} e_i $$ Les scalaires $p_{ij}$ forment une matrice carrée $P=(p_{ij})$ d’ordre $n$.

Définition : Matrice de Passage

La matrice $P=(p_{ij})_{1 \le i,j \le n}$, dont la $j$-ème colonne contient les coordonnées du vecteur $e’_j$ dans la base $\beta$, est appelée la matrice de passage de la base $\beta$ à la base $\beta’$.

Remarque

  1. La matrice de passage $P$ de $\beta$ à $\beta’$ est la matrice de l’endomorphisme qui transforme chaque vecteur $e_j$ de $\beta$ en le vecteur correspondant $e’_j$ de $\beta’$. Comme cet endomorphisme transforme une base en une autre base, il est bijectif (c’est un automorphisme). Par conséquent, toute matrice de passage est inversible.
  2. Soit un vecteur $x \in E$. Ses coordonnées dans la base $\beta$ sont notées $X$ (matrice colonne) et ses coordonnées dans la base $\beta’$ sont notées $X’$. La relation entre ces coordonnées est donnée par la formule : $$ X = PX’ $$ En effet, $x = \sum_{j=1}^n x’_j e’_j = \sum_{j=1}^n x’_j \left(\sum_{i=1}^n p_{ij} e_i\right) = \sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n p_{ij} x’_j\right) e_i$. Par unicité des coordonnées dans la base $\beta$, on identifie $x_i = \sum_{j=1}^n p_{ij} x’_j$, ce qui correspond à l’équation matricielle $X=PX’$.
Proposition : Matrice de Passage Inverse

Soient $\beta$ et $\gamma$ deux bases de $E$. Si $P$ est la matrice de passage de $\beta$ à $\gamma$, et $Q$ la matrice de passage de $\gamma$ à $\beta$, alors $Q = P^{-1}$.

Théorème : Formule de Changement de Base

Soient $E$ et $F$ deux K-espaces vectoriels de dimension finie, et $f: E \to F$ une application linéaire. Soient $\beta, \gamma$ deux bases de $E$, et $\beta’, \gamma’$ deux bases de $F$. Notons $P$ la matrice de passage de $\beta$ à $\gamma$, et $Q$ la matrice de passage de $\beta’$ à $\gamma’$. Si $A = Mat(f, \beta, \beta’)$ et $B = Mat(f, \gamma, \gamma’)$, alors la relation entre ces deux matrices est : $$ B = Q^{-1}AP $$

Démonstration

Soit un vecteur $x \in E$. Notons $X_\beta$ et $X_\gamma$ ses matrices de coordonnées dans les bases $\beta$ et $\gamma$. De même, pour $y=f(x) \in F$, notons $Y_{\beta’}$ et $Y_{\gamma’}$ ses coordonnées. Nous avons les relations suivantes :

  • $Y_{\beta’} = A X_\beta$ (définition de A)
  • $Y_{\gamma’} = B X_\gamma$ (définition de B)
  • $X_\beta = P X_\gamma$ (formule de changement de base dans E)
  • $Y_{\beta’} = Q Y_{\gamma’}$ (formule de changement de base dans F)

En substituant, on obtient : $Q Y_{\gamma’} = A (P X_\gamma)$. En multipliant à gauche par $Q^{-1}$, on a $Y_{\gamma’} = (Q^{-1}AP) X_\gamma$. En comparant avec $Y_{\gamma’} = B X_\gamma$, on conclut par unicité que $B = Q^{-1}AP$.

Corollaire : Cas des Endomorphismes

Soit $u$ un endomorphisme de $E$. Soient $\beta$ et $\gamma$ deux bases de $E$, $A = Mat(u, \beta)$, $B = Mat(u, \gamma)$, et $P$ la matrice de passage de $\beta$ à $\gamma$. Alors : $$ B = P^{-1}AP $$ Les matrices d’un même endomorphisme dans des bases différentes sont donc semblables.