Matrice d’une forme bilinéaire

Matrice d’une Forme Bilinéaire
Définition : Matrice d’une Forme Bilinéaire

Soit $E$ un K-espace vectoriel de dimension finie $n$, et soit $\beta = (e_1, e_2, \dots, e_n)$ une base de $E$. Pour une forme bilinéaire $f$ sur $E$, on appelle matrice de f par rapport à la base $\beta$ la matrice carrée $A=(a_{ij})$ d’ordre $n$ dont les coefficients sont définis par : $$ a_{ij} = f(e_i, e_j) $$

Remarque

  1. La matrice $A$ encapsule toute l’information de la forme bilinéaire $f$. Une fois la base fixée, la correspondance entre les formes bilinéaires et les matrices carrées est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
  2. Réciproquement, toute matrice carrée $A=(a_{ij})$ définit une forme bilinéaire. Si les vecteurs $x$ et $y$ ont pour coordonnées respectives les colonnes $X$ et $Y$ dans la base $\beta$, alors la valeur de la forme bilinéaire est donnée par le calcul matriciel : $$ f(x,y) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i y_j = {}^t X A Y $$
  3. La nature de la forme bilinéaire se reflète directement dans sa matrice :
    • $f$ est symétrique si et seulement si sa matrice $A$ est symétrique (${}^t A = A$).
    • $f$ est antisymétrique si et seulement si sa matrice $A$ est antisymétrique (${}^t A = -A$).
    Dans le cas d’une forme symétrique, l’expression de $f(x,x)$ devient : $$ f(x,x) = \sum_{i=1}^n a_{ii}x_i^2 + 2 \sum_{1 \le i < j \le n} a_{ij}x_i x_j $$