Matrice d’une forme sesquilinéaire

Soit $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie $n$, $f$ une forme sesquilinéaire sur $E$, et $\beta = (e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$. Pour tout couple de vecteurs $(x,y) \in E \times E$, avec $x = \sum x_i e_i$ et $y = \sum y_j e_j$, la sesquilinéarité nous permet d’écrire : $$ f(x,y) = f\left(\sum_i x_i e_i, \sum_j y_j e_j\right) = \sum_i \sum_j \overline{x_i} y_j f(e_i, e_j) $$

Notations

Pour toute matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, on note $A^*$ sa matrice adjointe, qui est la transposée de sa matrice conjuguée : $A^* = {}^t(\overline{A})$. On vérifie facilement que $(AB)^* = B^*A^*$ et ${}^t(\overline{A}) = \overline{({}^tA)}$.

Remarque

1. L’expression de la forme sesquilinéaire en coordonnées est $f(x,y) = \sum_i \sum_j a_{ij} \overline{x_i} y_j$.
2. Une forme sesquilinéaire $f$ est hermitienne si et seulement si sa matrice $A$ dans n’importe quelle base est hermitienne, c’est-à-dire si $A^*=A$.
3. Si $f$ est hermitienne, alors $a_{ij} = \overline{a_{ji}}$. En particulier, les éléments diagonaux $a_{ii} = \overline{a_{ii}}$ sont réels. L’expression de $f(x,x)$ devient alors : $$ f(x,x) = \sum_{i=1}^n a_{ii}|x_i|^2 + \sum_{1 \le i < j \le n} (a_{ij}\overline{x_i}x_j + \overline{a_{ij}}x_i\overline{x_j}) = \sum_{i=1}^n a_{ii}|x_i|^2 + 2 \sum_{1 \le i < j \le n} Re(a_{ij}\overline{x_i}x_j) $$