On désigne par $GL_n(\mathbb{K})$ (avec $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) le groupe des matrices inversibles d’ordre $n$, appelé groupe linéaire. Son sous-groupe des matrices de déterminant 1 est noté $SL_n(\mathbb{K})$ et appelé groupe linéaire spécial.
Soit $n$ un entier $\ge 2$.
- Pour tout couple $(i,j)$ avec $i \neq j$ et tout scalaire $\lambda \in \mathbb{K}$, on définit la matrice de transvection $T_{ij}(\lambda)$ par : $$ T_{ij}(\lambda) = I_n + \lambda E_{ij} $$
- Pour tout indice $i \in \{1, \dots, n\}$ et tout scalaire non nul $\alpha \in \mathbb{K}^*$, on définit la matrice de dilatation $D_i(\alpha)$ par : $$ D_i(\alpha) = I_n + (\alpha – 1)E_{ii} $$
Remarque
- Pour tout $i \neq j$ et $\lambda \in \mathbb{K}$, on a $\det(T_{ij}(\lambda)) = 1$ et son inverse est $(T_{ij}(\lambda))^{-1} = T_{ij}(-\lambda)$.
- Pour tout $i$ et $\alpha \in \mathbb{K}^*$, on a $\det(D_i(\alpha)) = \alpha$ et son inverse est $(D_i(\alpha))^{-1} = D_i(\frac{1}{\alpha})$.
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ une matrice dont les lignes sont notées $L_1, \dots, L_n$ et les colonnes $C_1, \dots, C_n$. La multiplication par des matrices de transvection correspond à des opérations élémentaires :
- Multiplier à gauche par $T_{ij}(\lambda)$ (i.e., $T_{ij}(\lambda)A$) revient à remplacer la ligne $L_i$ par $L_i + \lambda L_j$.
- Multiplier à droite par $T_{ij}(\lambda)$ (i.e., $AT_{ij}(\lambda)$) revient à remplacer la colonne $C_j$ par $C_j + \lambda C_i$.
Le groupe spécial linéaire $SL_n(\mathbb{K})$ est engendré par l’ensemble des matrices de transvection.
Démonstration
Soit $A \in SL_n(\mathbb{K})$. L’objectif est de montrer que $A$ peut s’écrire comme un produit de matrices de transvection. La méthode consiste à transformer $A$ en la matrice identité $I_n$ par une série de multiplications à gauche et à droite par des matrices de transvection. C’est l’algorithme du pivot de Gauss matriciel.
En utilisant des multiplications par des matrices de type $T_{ij}(\lambda)$, on peut effectuer des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes de $A$. On peut ainsi amener un 1 en position $(1,1)$, puis créer des zéros sur le reste de la première ligne et de la première colonne. En procédant de manière itérative, on transforme la matrice $A$ en une matrice de la forme $\text{diag}(1, \dots, 1, d)$.
Il existe donc des matrices de transvection $U_1, \dots, U_r$ et $V_1, \dots, V_s$ telles que : $$ U_r \dots U_1 A V_1 \dots V_s = \text{diag}(1, \dots, 1, d) $$ En passant au déterminant, comme les matrices de transvection et $A$ ont un déterminant de 1, on trouve que $d=1$. La matrice obtenue est donc l’identité $I_n$. On a alors : $$ A = U_1^{-1} \dots U_r^{-1} I_n V_s^{-1} \dots V_1^{-1} $$ Puisque l’inverse d’une matrice de transvection est aussi une matrice de transvection, $A$ est bien un produit de matrices de transvection.
Le groupe linéaire $GL_n(\mathbb{K})$ est engendré par l’ensemble des matrices de transvection et de dilatation.
Démonstration
Soit $A \in GL_n(\mathbb{K})$. Soit $\alpha = \det(A)$. On considère la matrice de dilatation $D = D_1(\alpha^{-1})$. Le produit $DA$ est une matrice dont le déterminant est $\det(D)\det(A) = \alpha^{-1} \alpha = 1$. Donc, $DA \in SL_n(\mathbb{K})$.
D’après le théorème précédent, $DA$ peut s’écrire comme un produit de matrices de transvection : $DA = T_1 T_2 \dots T_m$. On en déduit que : $$ A = D^{-1} T_1 T_2 \dots T_m $$ Comme $D^{-1}$ est une matrice de dilatation, $A$ est bien un produit de matrices de dilatation et de transvection.